Menggambar Grafik Fungsi (dengan konsep turunan)

Untuk menggambar grafik suatu fungsi, kita menggunakan konsep turunan, juga konsep limit. Meskipun grafiknya tidak sepenuhnya sempurna, sekurang-kurangnya mendekati grafik yang sebenarnya. Berikut hal-hal yang perlu diperhatikan untuk menggambar grafik suatu fungsi:

(i) Domain fungsi (juga tanda fungsi)

(ii) Daerah dimana fungsi naik/turun

(iii) Titik ekstrem dan jenisnya

(iv) Daerah dimana fungsi cekung/cembung

(v) Titik belok

(vi) Asimtot (jika ada)

(vii) Titik bantu (opsional, terkadang diperlukan)

Poin (ii) dan (iii) menggunakan turunan pertama, poin (iv) dan (v) menggunakan turunan kedua, poin (vi) menggunakan limit tak hingga.

Contoh soal dan pembahasan

1. Diberikan fungsi f(x) = x^1/3(x – 3), gambarlah grafiknya dengan konsep turunan!

(i) Domain fungsi dan tanda fungsi

D_f = {x ∈ R}, domainnya adalah seluruh bilangan real karena tidak ada yang membatasi.

Untuk tanda fungsi sebagai berikut:

f(x) = x^1/3(x – 3) = 0

x = 0 atau x = 3

Fungsi f memotong sumbu x pada x = 0 atau x = 3; di atas sumbu x pada x < 0 atau x > 3; dan di bawah sumbu x pada 0 < x < 3

(ii) Turunan pertama

Tanda dari turunan pertama mempengaruhi arah fungsi apakah naik, turun atau stasioner. Untuk menentukan kapan fungsi naik kita mencari kapan turunan pertamanya positif:

Pangkatkan masing-masing ruas dengan 3, karena memangkatkan masing-masing ruas dengan pangkat ganjil tidak merubah tanda pertidaksamaan. Sebagaimana "Jika a > b maka aⁿ > bⁿ dengan n ganjil"

Kalikan masing-masing ruas dengan x², karena bilangan berpangkat genap tidak mungkin negatif sehingga tidak merubah tanda pertidaksamaan.

Tarik akar pangkat tiga dari masing-masing ruas, karena pernyataan "Jika a > b maka aⁿ > bⁿ dengan n ganjil" juga berlaku untuk konvers nya yaitu "Jika aⁿ > bⁿ maka a > b dengan n ganjil".

Fungsi f naik pada x > 3/4; turun pada x < 3/4; stasioner pada x = 3/4. Pada x = 3/4 merupakan titik ekstrem minimum karena sebelah kirinya turun dan sebelah kanannya naik.

Turunan pertamanya tidak ada pada x = 0 karena angka nol dipangkatkan dengan bilangan non-positif (0 atau negatif) tidak terdefinisikan. Akan tetapi titik ini bukanlah titik ekstrem karena sebelah kiri dan kanannya sama-sama turun.
(iii) Turunan kedua

Tanda dari turunan kedua mempengaruhi apakah fungsi cekung ke atas, cekung ke bawah, atau belok. Untuk menentukan kapan fungsi cekung ke atas kita mencari kapan turunan keduanya positif.

Berikut tanda dari turunan kedua fungsi f:

Fungsi f cekung ke atas pada x < -3/2 atau x > 0; cekung ke bawah pada -3/2 < x < 0; belok pada x = -3/2 atau x = 0.

Pada x = -3/2 merupakan titik belok karena f''(x) = 0, sebelah kirinya cekung ke atas, dan sebelah kanannya cekung ke bawah. Pada x = 0 merupakan titik belok karena f''(x) tidak ada karena angka nol dipangkatkan dengan bilangan non-positif (0 atau negatif) tidak terdefinisikan, sebelah kirinya cekung ke bawah, dan sebelah kanannya cekung ke atas.

(iv) Asimtot

Fungsi f(x) = x^1/3(x – 3) tidak memiliki asimtot karena merupakan fungsi polinom yang semua sukunya berpangkat positif.

(v) Grafik

Berikut grafik fungsi f(x) = x^1/3(x – 3):

2. Diberikan fungsi f(x) = (x²)/(x – 1)², gambarlah grafiknya dengan konsep turunan!

(i) Domain fungsi dan tanda fungsi

D_f = {x ∈ R| x ≠ 1}, domainnya adalah seluruh bilangan real kecuali 1, karena penyebut fungsi rasional tidak boleh 0

Untuk tanda fungsi tidak mungkin negatif, karena pembilang dan penyebut keduanya merupakan bilangan kuadrat yang hanya mungkin 0 atau positif. Fungsi f bernilai 0 pada x = 0, yang mana pembilangnya 0 dan penyebutnya tidak 0, pada x = 0 grafiknya menyinggung sumbu x.

(ii) Turunan pertama

Fungsi f berbentuk hasil bagi, kita dapat memisalkan pembilangnya sebagai u dan penyebutnya sebagai v. Misalkan u = x², u' = 2x, v = (x – 1)² = x² - 2x + 1, v' = 2x - 2, diperoleh:

Berikut daerah positif dan negatif turunan pertama fungsi f:

Fungsi f naik pada 0 < x < 1; turun pada x < 0 atau x > 1; ekstrem pada x = 0 yang merupakan ekstrem minimum karena sebelah kirinya turun dan kanannya naik. Adapun x = 1 turunannya tidak ada akan tetapi bukan titik ekstrem, karena pada x = 1 nilai fungsi f tak hingga.

(iii) Turunan kedua

Turunan pertama dari fungsi f merupakan hasil bagi, kita dapat memisalkan pembilangnya sebagai s dan penyebutnya sebagai t. Misalkan s = -2x, s' = -2, t = (x – 1)³ = x³ – 3x² + 3x – 1, t' = 3x² – 6x + 3:

Untuk turunan kedua ini penyebutnya berpangkat genap, sehingga tidak mungkin negatif. Oleh karena itu penentu tanda turunan kedua ini adalah pembilangnya.

Fungsi f cekung ke atas pada x > -1/2; cekung ke bawah pada x < -1/2; belok pada x = -1/2. Pada x = -1/2 merupakan titik belok karena f''(x) = 0, sebelah kirinya cekung ke bawah, dan sebelah kanannya cekung ke atas. Adapun x = 1 turunan keduanya tidak ada akan tetapi bukan titik belok karena pada x = 1 nilai fungsi f tak hingga.

(iv) Asimtot

• Asimtot tegak

Asimtot tegak terjadi pada x = c ketika limit f(x) dengan x mendekati c sama dengan tak hingga (baik positif maupun negatif). Asimtot tegak pada fungsi rasional adalah ketika penyebutnya 0, yaitu x = 1.

• Asimtot mendatar

Asimtot mendatar terjadi pada y = L ketika limit f(x) dengan x mendekati tak hingga sama dengan L.

Asimtot mendatarnya adalah y = 1, akan tetapi pada kasus ini terdapat ketidakkontinuan asimtot mendatar, yaitu pada:

Pada x = 1/2, nilai f(x) = 1 yang mana menyebabkan asimtot y = 1 tidak kontinu

• Asimtot miring

Asimtot miring umumnya berbentuk persamaan y = mx + n dengan:

Untuk fungsi ini nilai m dan n adalah:

Asimtot miring fungsi ini berhimpit dengan asimtot mendatarnya

(v) Grafik

Berikut grafik fungsi f(x) = (x²)/(x – 1)²:

Tonton video menggambar grafik fungsi dengan konsep turunan: