Uji Linearitas dan Keberartian Regresi

1. Uji Linearitas Regresi

➢ Analisis regresi mengharuskan adanya hubungan fungsional antara X dan Y yang linear → perubahan nilai di salah satu variabel independen akan menghasilkan perubahan yang konstan pada variabel dependen.

➢ Tujuan linearitas pada regresi adalah meyakinkan hubungan linear pada X dan Y dan juga dampak dari model tersebut. Selain itu, residu tersisa sudah tidak memiliki pola tertentu sehingga memastikan bahwa model yang dikeluarkan benar tepat. 

➢ Tidak dipenuhinya asumsi linearitas menjadikan estimasi parameter regresi menjadi bias (koefisien regresi, kesalahan baku, dan pengujian signifikansi) yang berakibat model regresi menjadi tidak tepat jika digunakan untuk prediksi.

➢ Hasil analisis regresi yang underfitting atau overfitting serta resiko kesalahan tipe I atau tipe II menjadi sangat besar.

Berikut langkah-langkah uji linearitas:

1. Urutkan dan Kelompokkan Data

Data diurutkan berdasarkan nilai X dari terkecil hingga terbesar. Data dengan nilai X yang sama dikelompokkan bersama.

X₁: Kelompok data dengan nilai X yang sama (X₁), memiliki n₁ data Y yang bersesuaian.

X₂: Kelompok data dengan nilai X yang sama (X₂), memiliki n₂ data Y yang bersesuaian.

⋮

X_k: Kelompok data dengan nilai X yang sama (X_k), memiliki nk data Y yang bersesuaian.

Total data (n) adalah jumlah dari semua pengulangan (n₁ + n₂ + ... + n_k).  'k' menunjukkan kelompok data X yang unik atau berbeda.

2. Definisikan Istilah-istilah

Setelah data dikelompokkan, beberapa istilah didefinisikan untuk memudahkan perhitungan dan analisis selanjutnya:

Y_ij: Nilai Y yang ke-j dalam kelompok data Xᵢ. (j = 1, 2, ..., nᵢ). Artinya, ini adalah nilai Y individual dalam setiap kelompok X.

Tᵢ: Jumlah dari semua nilai Y dalam kelompok Xᵢ. (Tᵢ = Yᵢ₁ + Yᵢ₂ + ... + Yᵢnᵢ). Ini adalah total nilai Y untuk setiap kelompok X.

Ȳᵢ: Rata-rata nilai Y dalam kelompok Xᵢ. Dihitung dengan rumus: Ȳᵢ = Tᵢ / nᵢ (Total nilai Y dalam kelompok dibagi banyaknya data Y dalam kelompok tersebut).

3. Hitung Jumlah Kuadrat

a. Jumlah kuadrat regresi

b. Jumlah kuadrat galat

c. Jumlah kuadrat total

JKT = JKR + JKG

d. Jumlah kuadrat galat murni (variasi acak atau galat percobaan),

dengan dbGM = n – k

e. Jumlah kuadrat kekurangcocokan atau jumlah kuadrat tuna cocok (variasi yang menyimpang dari model)

𝐽𝐾𝐺𝑇𝐶 = 𝐽𝐾𝐺 − 𝐽𝐾𝐺𝑀 dengan dbGTC = 𝑘 − 2

4. Hitung Rerata Kuadrat

a. Rerata kuadrat galat murni, RKGM = JKGM/dbGM = JKGM/(n – k)

b. Rerata kuadrat galat tuna cocok, RKGTC = JKGTC/dbGTC = JKGTC/(k − 2)

5. Hitung Nilai F

F = RKGTM/RKGM

6. Tentukan keputusan berdasarkan daerah kritis:

DK = {F | F > F_{α; k − 2; n – k}}

Berikut tabel uji linearitas

SV	JK	db	RK	F
Regresi	JKR	1	RKR
Tuna Cocok	JKGTC	k – 2	RKGTC	F = RKGTC/RKGM
Galat Murni	JKGM	n – k	RKGM
Total	JKT	n – 1

Contoh:

Penelitian untuk mengetahui ada tidaknya hubungan antara variabel frekuensi penyiraman per pekan (x) dan kecepatan pertumbuhan tanaman (y) pada 10 kali eksperimen.

Dengan menggunakan taraf signifikansi 5%, ujilah apakah hubungan antara X dan Y linear?

1. Hipotesis Statistik

H₀: Hubungan antara X dan Y linear.

H₁: Hubungan antara X dan Y tidak linear.

2. Taraf Signifikansi

α = 5% = 0,05

3. Statistik Uji

Ingat kembali pada artikel sebelumnya, bahwa persamaan regresinya adalah Y = 0,24 + 0,31X

JKT = 2,029

JKR = 1,922

JKG = 0,107

Selanjutnya untuk menghitung JKGM, JKGTC, RKGM, dan RKGTC digunakan tabel bantu sebagai berikut.

Kel	X	Y	Y2	n	T	T2/n
1	5 5	1,6 1,9	2,56 3,61	2	3,5	6,125
2	6 6	2,1 2,2	4,41 4,84	2	4,3	9,245
3	7 7	2,3 2,5	5,29 6,25	2	4,8	11,52
4	8 8	2,7 2,8	7,29 7,84	2	5,5	15,125
5	9 9	2,9 3,1	8,41 9,61	2	6	18
Total	70	24,1	60,11	10	-	60,015

Berdasarkan tabel di atas diperoleh nilai k = 5, jumlah kuadrat (JK) diperoleh sebagai berikut:

dbGM = n − k = 10 − 5 = 5
𝐽𝐾𝐺𝑇𝐶 = 𝐽𝐾𝐺 − 𝐽𝐾𝐺𝑀 = 0,107 − 0,095 = 0,012

dbGTC = k − 2 = 5 − 2 = 3

Selanjutnya nilai Rerata Kuadrat (RK) sebagai berikut.

RKGM = JKGM/dbGM = 0,095/5 = 0,019

RKGTC = JKGTC/dbGTC = 0,012/3 = 0,004

F = RKGTC/RKGM = 0,004/0,019 = 0,210526

4. Daerah Kritis dan Keputusan Uji

DK = {F | F > F_{α; k − 2; n – k}} = {F | F > F_{0,05; 3; 5}} = 5,409451

F = 0,210526 < 5,409451 sehingga F ∉ DK, akibatnya H₀ diterima.

5. Kesimpulan

Hubungan antara X dan Y linear.

2. Uji Keberartian Regresi

➢ Uji keberartian atau signifikansi regresi digunakan untuk meyakinkan bahwa regresi yang didapat berdasarkan penelitian memiliki arti secara signikan → melihat keberartian (signifikansi) regresi.

Dalam pengujian keberartian regresi digunakan pendekatan analisis variansi dengan menggunakan nilai-nilai JKT, JKR, dan JKG yang sudah diperoleh sebelumnya seperti pada uji linearitas.

1. Hitung jumlah kuadrat

a. Jumlah kuadrat regresi

dengan dbR = 1

b. Jumlah kuadrat galat

dengan dbG = n − 2

c. Jumlah kuadrat total

JKT = JKR + JKG

dbT = dbR + dbG = n − 1

2. Hitung rerata kuadrat

a. Rerata kuadrat regresi

RKR = JKR/1 = JKR

b. Rerata kuadrat galat

RKG = JKG/dbG = JKG/(n − 2)

3. Hitung nilai F

F = RKR/RKG

4. Tentukan keputusan berdasarkan daerah kritis:

DK = {F | F > F_{α; 1; n – 2}}

Berikut tabel uji keberartian regresi

SV	JK	db	RK	F
Regresi	JKR	1	RKR	F = RKR/RKG
Galat	JKG	n – 2	RKG
Total	JKT	n – 1

Contoh:

Penelitian untuk mengetahui ada tidaknya hubungan antara variabel frekuensi penyiraman per pekan (x) dan kecepatan pertumbuhan tanaman (y) pada 10 kali eksperimen.

Dengan menggunakan taraf signifikansi 5%, ujilah apakah hubungan antara X dan Y berarti?

1. Hipotesis Statistik

H₀: Hubungan antara X dan Y tidak berarti.

H₁: Hubungan antara X dan Y berarti.

2. Taraf Signifikansi

α = 5% = 0,05

3. Statistik Uji

Ingat kembali pada artikel sebelumnya, bahwa persamaan regresinya adalah Y = 0,24 + 0,31X

JKT = 2,029

JKR = 1,922

dbR = 1

JKG = 0,107

dbG = n − 2 = 10 − 2 = 8

Selanjutnya nilai Rerata Kuadrat (RK) sebagai berikut.

RKR = JKR = 1,922

RKG = JKG/dbG = 0,107/8 = 0,013375

F = RKR/RKG = (1,922)/(0,013375) = 143,7009

4. Daerah Kritis dan Keputusan Uji

DK = {F | F > F_{α; 1; n – 2}} = {F | F > F_{0,05; 1; 8}} = 5,317655

F = 143,7009 > 5,317655 sehingga F ∈ DK, akibatnya H₀ ditolak dan H₁ diterima.

5. Kesimpulan

Regresi linear antara X dan Y berarti.

3. Uji Keberartian Koefisien Regresi

Jika koefisien regresi berarti, maka dapat dikatakan terdapat pengaruh variabel X terhadap Y.

Ingat kembali rumus kesalahan baku koefisien regresi (b)

sedangkan kesalahan baku koefisien konstan (a)

Pengujian Keberartian Koefisien Regresi:

dengan

b: koefisien regresi

a: koefisien konstan

s_b: kesalahan baku koefisien regresi

s_a: kesalahan baku koefisien konstan
Adapun daerah kritis sebagai berikut.

DK = {t | t < –t_{½α; n – 2} ∨ t > t_{½α; n – 2}}

dengan t_{½α; n – 2} adalah nilai dari tabel t (distribusi student) dengan derajat kebebasan 𝑛 − 2.

Contoh:

Penelitian untuk mengetahui ada tidaknya hubungan antara variabel frekuensi penyiraman per pekan (x) dan kecepatan pertumbuhan tanaman (y) pada 10 kali eksperimen.

Dengan menggunakan taraf signifikansi 5%, ujilah apakah hubungan koefisien regresi dan konstan berarti?

1. Hipotesis Statistik

H_0a: Koefisien konstan tidak berarti.

H_1a: Koefisien konstan berarti.

H_0b: Koefisien regresi tidak berarti.

H_1b: Koefisien regresi berarti.

2. Taraf Signifikansi

α = 5% = 0,05

3. Statistik Uji

Ingat kembali pada artikel sebelumnya, bahwa persamaan regresinya adalah Y = 0,24 + 0,31X

a = 0,24 dan b = 0,31

ingat kembali bahwa JKG nya adalah 0,107; ∑x² = 510; n = 10; ∑x = 70

selanjutnya dihitung s_a dan s_b sebagai berikut.

kesalahan baku koefisien konstan adalah 0,034106 dan kesalahan baku koefisien regresi adalah 0,02586; sehingga t hitung untuk a dan b masing-masing adalah:

4. Daerah Kritis dan Keputusan Uji

Titik kritis ±t_{½α; n – 2} = ±t_{0,025; 8} = ±2,306

DK = {t | t < –t_{½α; n – 2} ∨ t > t_{½α; n – 2}} = {t | t < –2,306 ∨ t > 2,306}

t_a = 7,037 > 2,306 sehingga t_a ∈ DK, akibatnya H_0a ditolak dan H_1a diterima.

t_b = 11,988 > 2,306 sehingga t_b ∈ DK, akibatnya H_0b ditolak dan H_1b diterima.

5. Kesimpulan

Koefisien konstan dan koefisien regresi keduanya berarti. Dengan kata lain frekuensi penyiraman mempengaruhi kecepatan pertumbuhan.

Catatan:

Variabel bebas mempengaruhi variabel terikat atau tidak, bergantung pada keberartian koefisien regresi, terlepas koefisien konstan berarti atau tidak.

4. Interval Konfidensi Koefisien Regresi

Dengan asumsi bahwa data amatan berdistribusi normal dan independen, interval konfidensi 100(1 − α)% untuk koefisien β dalam regresi linear sederhana adalah:

sedangkan interval konfidensi 100(1 − α)% untuk koefisien α dalam regresi linear sederhana adalah:

contoh: Hitung interval konfidensi 95% koefisien pada data sebelumnya.
t_{½α; n – 2} = t_{0,025; 8} = 2,306

interval konfidensi untuk β adalah:

panjang sayap = t_{½α; n – 2}.s_b = (2,306)(0,02586) = 0,059634

b − 0,059634 ≤ β ≤ b + 0,059634 ↔ 0,31 − 0,059634 ≤ β ≤ 0,31 + 0,059634

0,250366 ≤ β ≤ 0,369634

interval konfidensi untuk α adalah:

panjang sayap = t_{½α; n – 2}.s_a = (2,306)(0,034106) = 0,078649

a − 0,078649 ≤ α ≤ a + 0,078649 ↔ 0,24 − 0,078649 ≤ α ≤ 0,24 + 0,078649

0,161351 ≤ α ≤ 0,318649

Jadi, interval konfidensi 95% untuk koefisien konstan adalah 0,161351 ≤ α ≤ 0,318649 dan untuk koefisien regresi adalah 0,250366 ≤ β ≤ 0,369634.