Sixty Four Science

1. Eksistensi Homomorfisma ke Ring Faktor Untuk setiap ring faktor R/S dari R, terdapat epimorfisma ring dari R ke R/S. Bukti: Misal S sebarang ideal dari R, kita dapat mendefinisikan fungsi f dari R ke R/S sebagai berikut: f(a) = a + S, perhatikan: • f mempertahankan penjumlahan dan perkalian Ambil sebarang a, b ∈ R. f(a + b) = (a + b) + S = (a + S) + (b + S) = f(a) + f(b) f(ab) = ab + S = (a + S)(b + S) = f(a)f(b) • f bersifat surjektif Ambil sebarang a + S ∈ R/S, dapat dipilih a ∈ R sehingga f(a) = a + S. Jadi, f merupakan homomorfisma ring yang bersifat surjektif (epimorfisma). 2. Teorema Isomorfisma Ring 1 Misal f homomorfisma ring dari R ke S, berlaku R/ker(f) ≅ f(R). Bukti: Misal f homomorfisma ring dari R ke S, ingat bahwa ker(f) merupakan ideal dari R dan f(R) subring dari S. Untuk memudahkan penulisan, kita misalkan ker(f) = I dan f(R) = R'. Misal didefinisikan fungsi ϕ : R/I → R' dengan ϕ(a + I) = f(a). • ϕ mempertahankan penjumlahan dan perkalian Ambil sebaran...

1. Konsep Awal A . Unit Misal R merupakan ring dengan elemen satuan. Elemen a ∈ R disebut unit jika  (∃b ∈ R) ∋ ab = ba = 1. B .  Fungsi Penilaian Euclid untuk Hasil Kali dengan Unit Misalkan R suatu ring Euklid dengan fungsi penilaian d dan a, b ∈ D\{0}; berlaku: d(a) = d(ab) jika dan hanya jika b unit. Bukti: • Jika b unit maka d(a) = d(ab) Misalkan b unit. Jadi, misalkan u ∈ R sehingga b·u = u·b = 1. Untuk setiap a ∈ R tak nol diperoleh a = a·1 = a·(b·u) = (a·b)·u Sehingga d(a·b) ≤ d((a·b)·u) = d(a) Selain itu jelas bahwa d(a) ≤ d(a·b) Jadi, dari kedua hal tersebut dapat disimpulkan bahwa d(a) = d(a·b) jika b suatu unit.  • Jika d(a) = d(ab) maka b unit Misal A ideal utama yang dibangun oleh a, diperoleh a, ab ∈ A (karena a ∈ A, b ∈ R, dan A ideal). Ingat bahwa R ring Euklid maka R ring ideal utama. Ingat juga bahwa setiap elemen c ∈ A dengan d(c) minimum merupakan pembangun A. Karena a pembangun A, d(a) minimum. Selain itu d(ab) = d(a) juga minimum, akibatnya ab ...

1. Definisi Ring Euclid Misalkan R ring komutatif tanpa pembagi nol. Ring R disebut Ring Euclid jika terdapat pemetaan d : R → ℕ ∪ {0} yang memenuhi sifat-sifat: • d(0) = 0. • (∀a, b ∈ R\{0}). d(a) ≤ d(ab) • (∀a, b ∈ R\{0})(∃q, r ∈ R) ∋ a = bq + r ∧ [r = 0 ∨ d(r) < d(b)] Fungsi d ini disebut fungsi penilaian Euclid. Contoh: Misal ring J[i] = {a + bi : a, b ∈ ℤ} ⊆ ℂ. Ring J[i] komutatif tanpa pembagi nol. Misal didefinisikan d : R → ℕ ∪ {0} dengan d(a + bi) = a² + b², perhatikan • d(0 + 0i) = 0 + 0 = 0 • Untuk sebarang c₁, c₂ ∈ J[i]\{0} dengan c₁ = a₁ + b₁i, c₂ = a₂ + b₂i; a₁² + b₁² ≥ 1 > 0; a₂² + b₂² ≥ 1 > 0 (ini benar karena kuadrat bilangan bulat taknol selalu lebih dari atau sama dengan 1). d(c₁) = d(a₁ + b₁i) = a₁² + b₁² ≥ 1 > 0. d(c₁c₂) = d[(a₁ + b₁i)(a₂ + b₂i)] = d[(a₁a₂ – b₁b₂) + i(a₁b₂ + b₁a₂)] = (a₁a₂ – b₁b₂)² + (a₁b₂ + b₁a₂)² = a₁²a₂² + b₁²b₂² – 2a₁a₂b₁b₂ + a₁²b₂² + b₁²a₂² + 2...

1. Bahan Pembuatan Ring Lokalisasi A . Himpunan Tertutup Perkalian Misal diberikan R ring komutatif dengan S ⊆ R. Himpunan S disebut tertutup terhadap perkalian di R jika berlaku: (∀a, b ∈ S). ab ∈ S. B . Relasi Tidal Misal didefinisikan relasi “~” pada R × S dengan (a, s) ~ (a', s') ⇔ (∃u ∈ S) ∋ u(as' – a's) = 0, perhatikan: • Sifat Refleksif Diberikan sebarang (a, s) ∈ R × S, perhatikan bahwa untuk sebarang u ∈ S berlaku u(as – as) = u⋅0 = 0, ini berarti (a, s) ~ (a, s), sehingga relasi ~ bersifat refleksif. • Sifat Simetrik Diberikan sebarang (a, s), (a', s') ∈ R × S dengan (a, s) ~ (a', s'), berarti (∃u ∈ S) ∋ u(as' – a's) = 0 ⇔ uas' – ua' s = 0 ⇔ uas' = ua's ⇔ ua's – uas' = 0 ⇔ u(a's – as') = 0. Ini berarti dengan u yang sama berlaku u(a's – as') = 0, sehingga (a', s') ~ (a, s). Jadi, relasi ~ bersifat simetrik. • Sifat Transitif Diberikan sebarang (a₁, s₁), (a₂, s₂), (a₃, s₃) ∈ R × S dengan (a...

1. Penyisipan dan Field Kuosien A . Definisi Dapat Disisipkan Ring R dikatakan dapat disisipkan (can be imbedded) di dalam ring S jika terdapat monomorfisma (homomorfisma injektif) dari R ke S. Dalam kasus ini S disebut perluasan dari ring R. B . Field Kuosien Misalkan D adalah daerah integral. Field F dikatakan field kuosien dari daerah integral D jika F memuat D dan F termuat di dalam setiap field yang memuat D. Dengan kata lain, F merupakan field terkecil yang memuat D. Contoh paling familiar untuk field kuosien adalah bahwa field kuosien dari ℤ adalah ℚ. Field kuosien untuk field F adalah F itu sendiri dan field lain yang isomorfik dengannya. 2. Pembentukan Field Kuosien A . Relasi Tidal Misal D daerah integral, misal dibentuk himpunan D × D\{0} = {(a, b) : a, b ∈ D; b ≠ 0}. Misal didefinisikan relasi "~" di dalam D × D\{0} sebagai berikut: (a, b) ~ (c, d) ⇔ ad = bc Perhatikan: • Relasi ~ bersifat refleksif (a, b) ~ (a, b) karena ab = ba, dimana perkalian di...

1. Koset A . Koset Misal I ideal dari R dan r ∈ R, misal didefinisikan himpunan r + I = {r + i : r ∈ R, i ∈ I} himpunan ini disebut koset kiri dari I. Karena operasi penjumlahan bersifat komutatif, koset kiri dan koset kanan merupakan himpunan yang sama, yaitu r + I = I + r. B . Penjumlahan Koset Misal r₁, r₂ ∈ R dan I ideal dari R. Misal dilakukan penjumlahan anggota koset: (r₁ + i₁) ∈ r₁ + I dan (r₂ + i₂) ∈ r₂ + I, diperoleh (r₁ + i₁) + (r₂ + i₂) = (r₁ + r₂) + (i₁ + i₂), karena I ring, (i₁ + i₂) ∈ I, diperoleh (r₁ + I) + (r₂ + I) = (r₁ + r₂) + I C . Perkalian Koset Misal r₁, r₂ ∈ R dan I ideal dari R. Misal dilakukan perkalian anggota koset: (r₁ + i₁) ∈ r₁ + I dan (r₂ + i₂) ∈ r₂ + I, diperoleh (r₁ + i₁)(r₂ + i₂) = r₁r₂ + (r₁i₂ + i₁r₂ + i₁i₂), karena I ideal, (r₁i₂ + i₁r₂ + i₁i₂) ∈ I, diperoleh (r₁ + I)(r₂ + I) = r₁r₂ + I 2. Pembentukan Ring Faktor Misal R ring dan I ideal dari R, dibentuk himpunan R/I yaitu himpunan semua koset dari I....

1. Fungsi Kontinu dan Fungsi Monoton Telah ditunjukkan bahwa fungsi-fungsi yang kontinu atau monoton pada interval tertutup terbatas adalah terintegralkan secara Riemann. Bukti-bukti tersebut menggunakan pendekatan melalui fungsi tangga dan Teorema Apit sebagai alat utamanya. Kedua bukti tersebut menggunakan fakta esensial bahwa baik fungsi kontinu maupun fungsi monoton mencapai nilai maksimum dan nilai minimum pada interval tertutup terbatas. Artinya, jika f adalah fungsi kontinu atau monoton pada [a, b], maka untuk sebuah partisi P = (x₀, x₁, ..., xₙ), angka-angka Mₖ = sup{ƒ(x) : x ∈ Iₖ} dan mₖ = inf{ƒ(x) : x ∈ Iₖ}, k = 1, 2, ..., n, dicapai sebagai nilai fungsi. Untuk fungsi kontinu, ini adalah Teorema Maksimum-Minimum, dan untuk fungsi monoton, nilai-nilai ini dicapai pada titik ujung kanan dan kiri interval tersebut. Jika kita mendefinisikan fungsi tangga ω pada [a, b] dengan ω(x) = Mₖ untuk x ∈ [xₖ₋₁, xₖ) untuk k = 1, 2, ..., n – 1, dan ω(x) = Mₙ untuk x ∈ [xₙ₋₁, xₙ], ma...

1. Integral Atas dan Integral Bawah Kita akan menyatakan kumpulan semua partisi dari interval I dengan ℘(I). Jika f : I → ℝ terbatas, maka setiap 𝒫 dalam ℘(I) menentukan dua angka: L(f; 𝒫) dan U(f; 𝒫). Dengan demikian, kumpulan 𝒫(I) menentukan dua himpunan angka: himpunan jumlah bawah L(f; 𝒫) untuk 𝒫 ∈ ℘(I), dan himpunan jumlah atas U(f; 𝒫) untuk 𝒫 ∈ ℘(I). Oleh karena itu, kita diarahkan pada definisi berikut. A . Definisi Integral Atas dan Integral Bawah Misalkan I = [a, b] dan misalkan f : I → ℝ adalah fungsi terbatas. Integral bawah dari f pada I adalah angka: L(f) = sup{L(f; 𝒫) : 𝒫 ∈ ℘(I)}, dan integral atas dari f pada I adalah angka: U(f) = inf{U(f; 𝒫) : 𝒫 ∈ ℘(I)}. Karena f adalah fungsi terbatas, kita dijamin akan keberadaan angka-angka berikut: m = inf{f(x) : x ∈ I} dan M = sup{f(x) : x ∈ I}. Dapat segera terlihat bahwa untuk setiap 𝒫 ∈ ℘(I), kita memiliki: m(b – a) ≤ L(f; 𝒫) ≤ U(f; 𝒫) ≤ M(b – a). Maka dari itu: m(b – a) ≤ L(f) dan U(f) ≤ M(b – a). B . Hubungan I...

1. Jumlah Atas dan Jumlah Bawah A . Partisi Jika I = [a, b] adalah interval tertutup dan terbatas di R, maka partisi dari I adalah set berurutan hingga P = (x₀, x₁, ..., xₙ₋₁, xₙ) dari titik-titik di I sedemikian sehingga: a = x₀ < x₁ < ... < xₙ₋₁ < xₙ = b Titik-titik dari P digunakan untuk membagi I = [a, b] menjadi sub-interval yang tidak tumpang tindih: I₁ = [x₀, x₁], I₂ = [x₁, x₂], ..., Iₙ = [xₙ₋₁, xₙ] B . Jumlah Atas dan Jumlah Bawah Misalkan ƒ : I → ℝ adalah fungsi terbatas pada I = [a, b] dan misalkan 𝒫 = (x₀, x₁, . . . , xₙ) adalah partisi dari I. Untuk k = 1, 2, ..., n kita tetapkan mₖ = inf{ƒ(x) : x ∈ [xₖ₋₁, xₖ]}, Mₖ = sup{ƒ(x) : x ∈ [xₖ₋₁, xₖ]}. Jumlah bawah dari ƒ yang bersesuaian dengan partisi 𝒫, disimbolkan L(ƒ; 𝒫), didefinisikan sebagai dan jumlah atas dari ƒ yang bersesuaian dengan partisi 𝒫, disimbolkan U(ƒ; 𝒫), didefinisikan sebagai Jika ƒ adalah fungsi positif, maka jumlah bawah L(ƒ; 𝒫) dapat diinterpretasikan sebagai luas dari gabungan persegi pan...

1. Teorema Fundamental Kalkulus Bentuk Pertama Bentuk Pertama dari Teorema Fundamental memberikan dasar teoritis untuk metode penghitungan integral yang telah dipelajari Sixtyfourians dalam kalkulus. Teorema ini menyatakan bahwa jika suatu fungsi f adalah turunan dari fungsi F, dan jika f termasuk dalam ℛ[a, b], maka integral f pada [a, b] dapat dihitung dengan cara evaluasi F(b) – F(a). Fungsi F sedemikian sehingga F'(x) = f(x) untuk semua x ∈ [a, b] disebut sebagai antiturunan atau primitif dari f pada [a, b]. Jadi, ketika f memiliki antiturunan, menghitung integralnya menjadi hal yang sangat sederhana. Dalam praktiknya, lebih mudah untuk mengijinkan beberapa titik pengecualian c di mana F'(c) tidak ada dalam ℝ, atau di mana F'(c) tidak sama dengan f(c). Ternyata kita dapat mengijinkan sejumlah hingga titik pengecualian tersebut. Berikut ini teorema fundamental kalkulus bentuk pertama: Misalkan ada himpunan hingga E dalam [a, b] dan fungsi f, F : [a, b] → ℝ sedemikian seh...