Postingan

Integral Permukaan / Surface

Gambar
1. Definisi Intuitif dan Fondasi Geometris Secara geometris, integral permukaan adalah generalisasi alami dari integral lipat dua. Jika integral lipat dua menghitung besaran pada wilayah datar (bidang-xy), integral permukaan menghitung besaran pada lamina atau permukaan melengkung S di ruang dimensi tiga. Misalkan permukaan G adalah grafik dari z = f(x, y), dengan (x, y) berada dalam daerah persegi panjang R pada bidang-xy. Misalkan P adalah partisi dari R menjadi n sub-persegi panjang Rᵢ; hal ini menghasilkan partisi yang bersesuaian pada permukaan G menjadi n bagian Gᵢ. Pilih titik sampel (x̄ᵢ, ȳᵢ) di dalam Rᵢ, dan misalkan (x̄ᵢ, ȳᵢ, z̄ᵢ) = (x̄ᵢ, ȳᵢ, f(x̄ᵢ, ȳᵢ)) menjadi titik yang bersesuaian pada Gᵢ. Kemudian definisikan integral permukaan dari g atas G sebagai: di mana ΔSᵢ adalah luas dari Gᵢ. Akhirnya, perluas definisi ini untuk kasus di mana R adalah himpunan tertutup dan terbatas yang umum pada bidang-xy dengan cara seperti biasa (yaitu dengan memberikan nilai 0 pada g di lu...
Posting Komentar
Read more »

Diferensial Eksak dan Integral Garisnya

Gambar
1. Bentuk Diferensial Orde Pertama Dalam Dua Variabel Suatu ekspresi seperti M(x, y) dx + N(x, y) dy disebut sebagai bentuk diferensial orde pertama dalam dua variabel. Sebagai contoh, misalnya, (y sin x – 1) dx + cos x dy, (x² + y²) dx – 2xy dy. Fungsi M dan N yang muncul dalam bentuk tersebut diasumsikan terdefinisi dalam suatu wilayah (region) di bidang. Dalam praktiknya, pembatasan kontinuitas dan diferensial tertentu akan diberlakukan pada fungsi-fungsi tersebut. 2. Definisi Diferensial Eksak Suatu bentuk diferensial disebut sebagai diferensial eksak jika ia merupakan diferensial dari suatu fungsi u di semua titik pada suatu wilayah di bidang-xy. Karena du = (∂u/∂x) dx + (∂u/∂y) dy, ini berarti bahwa M dx + N dy adalah eksak jika ada suatu fungsi u yang dapat didiferensialkan sedemikian rupa sehingga M = ∂u/∂x,    N = ∂u/∂y di setiap titik pada suatu wilayah. Ada banyak bentuk diferensial yang tidak eksak. Definisi. Bentuk diferensial M dx + N dy dikatakan eksak pada titi...
Posting Komentar
Read more »

Teorema Fundamental Integral Garis dan Kebebasan Lintasan

Gambar
1. Teorema Fundamental Integral Garis Misalkan C adalah kurva mulus sepotong-sepotong yang diberikan secara parametrik oleh r = r (t), a ≤ t ≤ b, yang dimulai di a = r (a) dan berakhir di b = r (b). Jika f terdiferensialkan secara kontinu pada himpunan terbuka yang memuat C, maka: 2. Daerah Terhubung Sederhana Suatu himpunan terbuka terhubung D disebut wilayah terhubung sederhana (simply connected region) jika wilayah tersebut memiliki sifat bahwa kapan pun suatu kurva tertutup sederhana C berada di dalam D, maka semua titik di dalam C juga berada di dalam D. Jika D tidak terhubung sederhana, maka disebut terhubung ganda (multiply connected). Sifat terhubung sederhana merupakan sifat "secara keseluruhan" (in the large). Bagian dalam dari sebuah lingkaran atau persegi panjang adalah terhubung sederhana. Wilayah di antara dua lingkaran sepusat (konsentris) adalah terhubung ganda. Begitu pula dengan wilayah yang terdiri dari seluruh bidang kecuali satu atau sejumlah berhingga...
Posting Komentar
Read more »

Integral Garis

Gambar
Integral garis, atau disebut juga integral kurva, merupakan salah satu bentuk generalisasi dari integral tentu biasa. Jika pada integral tentu biasa kita melakukan integrasi di sepanjang selang garis lurus [a, b] pada sumbu x, maka pada integral garis kita mengintegrasikan suatu fungsi di sepanjang lintasan kurva C pada bidang dua dimensi maupun ruang tiga dimensi. 1. Konstruksi Limit A . Konstruksi terhadap Panjang Busur Salah satu jenis generalisasi dari integral tentu tunggal diperoleh dengan mengganti himpunan [a, b] tempat kita mengintegrasikan dengan himpunan dua dan tiga dimensi. Hal ini membawa kita pada integral lipat dua dan lipat tiga. Generalisasi yang sangat berbeda diperoleh dengan mengganti [a, b] dengan kurva C pada bidang XOY. Integral yang dihasilkan, disebut sebagai integral garis, tetapi sebenarnya lebih tepat disebut sebagai integral kurva. Misalkan C adalah kurva bidang yang mulus; artinya, misalkan C diberikan secara parametrik oleh: x = x(t),    y = y(t...
Posting Komentar
Read more »