Postingan

Kurva, Panjang, Vektor Singgung, dan Kelengkungan

Gambar
1. Representasi Kurva Secara intuitif, kita menganggap kurva sebagai konfigurasi satu dimensi, seperti lintasan dari partikel yang bergerak, atau sesuatu yang mungkin kita peroleh dengan membengkokkan dan memutarkan garis lurus. Kita akan mendefinisikan kurva dengan menyatakan bahwa ia adalah sebuah konfigurasi titik-titik (x, y, z) terurut yang diberikan oleh tiga fungsi kontinu dari sebuah parameter: x = f(t), y = g(t), z = h(t); rentang dari parameter tersebut berupa suatu interval (terbatas atau tak terbatas) dari sumbu riil. Kita menyebutnya sebagai representasi parametrik dari kurva. Sebuah kurva dapat memiliki lebih dari satu representasi parametrik. Jika kita menafsirkan t sebagai waktu, konfigurasi tersebut dapat dianggap sebagai penentu lintasan dari suatu titik yang bergerak. Titik tersebut dapat melewati posisi yang sama di dalam ruang beberapa kali; dalam hal ini, kurva tersebut memotong dirinya sendiri. Jelas bahwa kurva dalam pengertian kata di atas sangatlah umum, dan m...
Posting Komentar
Read more »

Teorema Inversi Fundamental dan Fungsi Implisit

Gambar
1. Bentuk Aturan Rata-Rata untuk Fungsi Vektor Dalam bagian ini kita memperoleh sebuah perampatan dari aturan rata-rata, dan sebuah penerapannya dalam bentuk suatu ketaksamaan; keduanya berlaku untuk fungsi-fungsi yang terdiferensialkan dari ℝⁿ ke ℝᵐ. Kita memerlukan gagasan tentang segmen garis di ℝⁿ yang ditentukan oleh dua titik, u dan v . Segmen ini terdiri dari semua titik dalam bentuk x = u + t( v – u ) di mana 0 ≤ t ≤ 1. Segmen garis di atas adalah tertutup karena memuat kedua titik ujungnya. Kita kadang-kadang menyatakannya dengan [ u , v ]. Segmen terbuka yang bersesuaian, yang kita nyatakan dengan ( u , v ), diperoleh dengan membatasi t pada interval terbuka 0 < t < 1. Situasinya digambarkan dalam sebagai berikut: Vektor v – u membentang dari u ke v , sehingga jika 0 < t < 1, u ditambah t kali ( v – u ) berakhir di beberapa titik pada segmen dari u ke v . Seiring meningkatnya t dari 0 ke 1, x bergerak dari u ke v . A . Perampatan Aturan Rata-Rata Misal...
Posting Komentar
Read more »

Turunan Berarah dan Diferensiabilitas

Gambar
1. Diferensial dan Derivatif Fungsi ℝⁿ ke ℝᵐ A . Pergeseran Sudut Pandang (Diferensial Dahulu, Baru Derivatif) Pada kalkulus elementer (f: ℝ → ℝ), kita biasanya mempelajari derivatif (turunan) terlebih dahulu, baru kemudian diferensial. Namun, untuk fungsi f: ℝⁿ → ℝᵐ dengan n > 1, pendekatan yang paling alami adalah mendefinisikan diferensial terlebih dahulu, baru kemudian memahami derivatif. Pada tingkat yang lebih tinggi ini, derivatif tidak lagi dipandang sebagai sekadar bilangan real atau vektor, melainkan sebagai sebuah fungsi yang memetakan suatu titik ke sebuah transformasi linear. Dengan kata lain, f'(x) merupakan anggota dari ℒ(ℝⁿ, ℝᵐ). B . Diferensial untuk Fungsi Bernilai Real (f: ℝⁿ → ℝ) Sebagai batu loncatan (ketika m = 1), diferensial dari fungsi f di titik x = (x₁, ..., xₙ) dengan perubahan vektor h = (h₁, ..., hₙ) = (dx₁, ..., dxₙ) dinyatakan sebagai fungsi linear dari h : Fungsi f dikatakan terdiferensialkan (differentiable) di x jika terdapat bilangan A...
Posting Komentar
Read more »

Gradien, Divergensi, dan Curl

Gambar
1. Gradien Medan Skalar A . Definisi Dasar Medan skalar adalah sebuah fungsi titik f yang memberikan nilai skalar f(P) pada setiap titik P di suatu wilayah R. Gradien dari fungsi skalar ini adalah sebuah fungsi vektor. Dalam sistem koordinat persegi xyz, gradien dari fungsi f(x, y, z) didefinisikan sebagai: ∇f = (∂f/∂x) i + (∂f/∂y) j + (∂F/∂z) k   Simbol ∇ (nabla) atau grad digunakan untuk menyatakan operasi ini. Gradien bersifat invarian, artinya hasil vektornya akan tetap sama meskipun kita memutar atau menggeser sistem koordinat yang digunakan. B . Laju Perubahan Maksimum • Laju perubahan u = f(P) pada titik tertentu dalam arah tertentu sama dengan komponen gradien pada arah tersebut. • Jika ∇u ≠ 0, maka arah gradien adalah arah di mana laju peningkatan u paling besar. C . Hubungan dengan Permukaan Level Pada setiap titik di mana gradien tidak bernilai nol, vektor gradien akan tegak lurus (normal) terhadap permukaan level (u = u₀) yang melalui titik tersebut. 2. Divergens...
Posting Komentar
Read more »