Sixty Four Science

1. Representasi Kurva Secara intuitif, kita menganggap kurva sebagai konfigurasi satu dimensi, seperti lintasan dari partikel yang bergerak, atau sesuatu yang mungkin kita peroleh dengan membengkokkan dan memutarkan garis lurus. Kita akan mendefinisikan kurva dengan menyatakan bahwa ia adalah sebuah konfigurasi titik-titik (x, y, z) terurut yang diberikan oleh tiga fungsi kontinu dari sebuah parameter: x = f(t), y = g(t), z = h(t); rentang dari parameter tersebut berupa suatu interval (terbatas atau tak terbatas) dari sumbu riil. Kita menyebutnya sebagai representasi parametrik dari kurva. Sebuah kurva dapat memiliki lebih dari satu representasi parametrik. Jika kita menafsirkan t sebagai waktu, konfigurasi tersebut dapat dianggap sebagai penentu lintasan dari suatu titik yang bergerak. Titik tersebut dapat melewati posisi yang sama di dalam ruang beberapa kali; dalam hal ini, kurva tersebut memotong dirinya sendiri. Jelas bahwa kurva dalam pengertian kata di atas sangatlah umum, dan m...

1. Bentuk Aturan Rata-Rata untuk Fungsi Vektor Dalam bagian ini kita memperoleh sebuah perampatan dari aturan rata-rata, dan sebuah penerapannya dalam bentuk suatu ketaksamaan; keduanya berlaku untuk fungsi-fungsi yang terdiferensialkan dari ℝⁿ ke ℝᵐ. Kita memerlukan gagasan tentang segmen garis di ℝⁿ yang ditentukan oleh dua titik, u dan v . Segmen ini terdiri dari semua titik dalam bentuk x = u + t( v – u ) di mana 0 ≤ t ≤ 1. Segmen garis di atas adalah tertutup karena memuat kedua titik ujungnya. Kita kadang-kadang menyatakannya dengan [ u , v ]. Segmen terbuka yang bersesuaian, yang kita nyatakan dengan ( u , v ), diperoleh dengan membatasi t pada interval terbuka 0 < t < 1. Situasinya digambarkan dalam sebagai berikut: Vektor v – u membentang dari u ke v , sehingga jika 0 < t < 1, u ditambah t kali ( v – u ) berakhir di beberapa titik pada segmen dari u ke v . Seiring meningkatnya t dari 0 ke 1, x bergerak dari u ke v . A . Perampatan Aturan Rata-Rata Misal...

1. Diferensial dan Derivatif Fungsi ℝⁿ ke ℝᵐ A . Pergeseran Sudut Pandang (Diferensial Dahulu, Baru Derivatif) Pada kalkulus elementer (f: ℝ → ℝ), kita biasanya mempelajari derivatif (turunan) terlebih dahulu, baru kemudian diferensial. Namun, untuk fungsi f: ℝⁿ → ℝᵐ dengan n > 1, pendekatan yang paling alami adalah mendefinisikan diferensial terlebih dahulu, baru kemudian memahami derivatif. Pada tingkat yang lebih tinggi ini, derivatif tidak lagi dipandang sebagai sekadar bilangan real atau vektor, melainkan sebagai sebuah fungsi yang memetakan suatu titik ke sebuah transformasi linear. Dengan kata lain, f'(x) merupakan anggota dari ℒ(ℝⁿ, ℝᵐ). B . Diferensial untuk Fungsi Bernilai Real (f: ℝⁿ → ℝ) Sebagai batu loncatan (ketika m = 1), diferensial dari fungsi f di titik x = (x₁, ..., xₙ) dengan perubahan vektor h = (h₁, ..., hₙ) = (dx₁, ..., dxₙ) dinyatakan sebagai fungsi linear dari h : Fungsi f dikatakan terdiferensialkan (differentiable) di x jika terdapat bilangan A...