Postingan

Teorema Divergensi Gauss

Gambar
1. Perluasan dari 2D ke 3D Teorema Divergensi Gauss merupakan perluasan langsung dari Teorema Green pada bidang ke ruang tiga dimensi (ℝ³). Teorema ini menghubungkan total perilaku medan di dalam suatu volume dengan aliran yang menembus batas permukaannya. A . Formulasi Vektor Salah satu bentuk Teorema Green dapat dituliskan sebagai: Ini menyatakan bahwa fluks F yang melintasi batas ∂S dari suatu wilayah bidang tertutup dan terbatas S adalah sama dengan integral lipat dua dari div F pada wilayah tersebut. Teorema Gauss (juga disebut Teorema Divergensi) menaikkan hasil ini satu dimensi lebih tinggi. Misalkan S adalah benda padat tertutup dan terbatas di ruang tiga dimensi yang seluruhnya dilingkupi oleh permukaan mulus sepotong-sepotong ∂S. Misalkan F = P i + Q j + R k adalah medan vektor sedemikian rupa sehingga P, Q, dan R memiliki turunan parsial tingkat pertama yang kontinu pada benda padat S dengan batas ∂S. Jika n menyatakan vektor normal satuan luar terhadap ∂S, maka: De...
Posting Komentar
Read more »

Teorema Green (Kalvek)

Gambar
Teorema Green merupakan salah satu pilar utama dalam kalkulus vektor yang memperluas konsep Teorema Dasar Kalkulus ke dimensi yang lebih tinggi. Teorema ini menyatakan bahwa untuk menghitung jenis integral tertentu atas suatu wilayah, kita dapat melakukan perhitungan pada batas wilayah tersebut yang melibatkan satu tingkat integrasi lebih sedikit. Dimensi 1 (Teorema Dasar Kalkulus): Menghitung integral pada interval wilayah [a, b] cukup dengan mengevaluasi fungsi antiturunan pada batasnya (dua titik ujung, a dan b), yang berarti tanpa integrasi sama sekali. Dimensi 2 (Teorema Green ): Menghitung integral lipat dua atas suatu wilayah bidang dua dimensi (2D) dengan cara melakukan integral garis tunggal di sepanjang kurva satu dimensi (1D) yang menjadi batas wilayah tersebut. Teorema ini berasal dari George Green (1793 – 1841), seorang fisikawan matematika asal Inggris yang belajar secara otodidak. Kita misalkan C adalah kurva tertutup sederhana yang membentuk batas dari wilayah S p...
Posting Komentar
Read more »

Integral Permukaan / Surface

Gambar
1. Definisi Intuitif dan Fondasi Geometris Secara geometris, integral permukaan adalah generalisasi alami dari integral lipat dua. Jika integral lipat dua menghitung besaran pada wilayah datar (bidang-xy), integral permukaan menghitung besaran pada lamina atau permukaan melengkung S di ruang dimensi tiga. Misalkan permukaan G adalah grafik dari z = f(x, y), dengan (x, y) berada dalam daerah persegi panjang R pada bidang-xy. Misalkan P adalah partisi dari R menjadi n sub-persegi panjang Rᵢ; hal ini menghasilkan partisi yang bersesuaian pada permukaan G menjadi n bagian Gᵢ. Pilih titik sampel (x̄ᵢ, ȳᵢ) di dalam Rᵢ, dan misalkan (x̄ᵢ, ȳᵢ, z̄ᵢ) = (x̄ᵢ, ȳᵢ, f(x̄ᵢ, ȳᵢ)) menjadi titik yang bersesuaian pada Gᵢ. Kemudian definisikan integral permukaan dari g atas G sebagai: di mana ΔSᵢ adalah luas dari Gᵢ. Akhirnya, perluas definisi ini untuk kasus di mana R adalah himpunan tertutup dan terbatas yang umum pada bidang-xy dengan cara seperti biasa (yaitu dengan memberikan nilai 0 pada g di lu...
Posting Komentar
Read more »