Turunan Tingkat Tinggi (Turunan ke-n)

Sebagaimana turunan dari f(x) adalah f'(x), turunan dari f'(x) adalah f''(x) yang mana merupakan turunan kedua dari f(x). Secara umum, penulisan untuk turunan ke-n adalah:
Contoh: f(x) = x3 – 6x2 + 7x – 15
f(x) = x3 – 6x2 + 7x – 15
f'(x) = 3x2 – 12x + 7
f''(x) = 6x – 12
f'''(x) = 6

Turunan ke-n untuk jumlah dan selisih:
yaitu dengan menurunkan masing-masing suku.

Turunan ke-n untuk koefisien:
yaitu dengan menurunkan fungsinya.

Turunan ke-n untuk hasil kali:
rumit bukan? terdapat sigma dan binomial.

Turunan ke-r untuk fungsi pangkat:
catatan: penggunaan huruf r disini untuk mencegah tumpang tindih. Turunan ke-r untuk fungsi pangkat menggunakan permutasi.

Turunan ke-n untuk fungsi trigonometri:
Turunan ke-n untuk fungsi sinus dan kosinus membentuk siklus setiap 4 kali penurunan. Oleh karena itu untuk semua k bilangan bulat berlaku:
Dapat juga dinyatakan dengan sudut yang berelasi:

Turunan ke-n untuk fungsi eksponensial:
simple bukan? apalagi untuk a = e, mau diturunkan berkali-kali bentuknya selalu tetap dan tidak berubah.

Turunan ke-n untuk fungsi logaritma:

Turunan ke-n untuk fungsi hiperbolik:
Turunan ke-n untuk fungsi sinus hiperbolik dan kosinus hiperbolik membentuk siklus setiap 2 kali penurunan. Simple juga ternyata, turunan ke-n untuk sinh x dan cosh x:
(i) Untuk n ganjil, turunan ke-n dari sinh x adalah cosh x, dan turunan ke-n dari cosh x adalah sinh x.
(ii) Untuk n genap, turunan ke-n dari sinh x dan cosh x adalah dirinya sendiri

Turunan ke-n untuk fungsi parameter:
Turunan (y terhadap x) ke-n dari fungsi parameter adalah dengan menurunkan turunan sebelumnya terhadap t, lalu dibagi dengan turunan x terhadap t.

Contoh soal dan pembahasan
Tentukan turunan pertama dan turunan kedua dari x2y = exy !
(i) Turunan pertama
(ii) Turunan kedua

Turunan kedua dari bentuk implisit biasanya sangat rumit, apalagi turunan-turunan setelahnya.

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Rotasi Baru (Komposisi Geseran dan Rotasi)

Gambar
1. Komposisi Geseran dengan Rotasi Untuk sebarang titik A, B, P, dan besar sudut θ, selalu dapat ditemukan titik C sehingga: a. S AB R P, θ  = R C, θ   Misal terdapat dua garis sejajar r dan s dengan jarak antara keduanya adalah ½|AB|, sehingga dipenuhi S AB  = M r M s . Misal terdapat garis t yang memotong s di P dengan sudut antara s dan t adalah ½θ, sehingga dipenuhi R P, θ  = M s M t . Kita dapat menguraikan S AB R P, θ  = (M r M s )(M s M t ) = M r M s M s M t   = M r IM t   = M r M t , karena r sejajar s, sudut antara r dan t juga ½θ, misal r dan t berpotongan di C = R C, θ   b. R P, θ S AB  = R C, θ   Misal terdapat dua garis sejajar r dan s dengan jarak antara keduanya adalah ½|AB|, sehingga dipenuhi S AB  = M s M r . Misal terdapat garis t yang memotong s di P dengan sudut antara s dan t adalah ½θ, sehingga dipenuhi R P, θ  = M t M s . Kita dapat menguraikan R P, θ S AB  = M t M s M s M r   = M t ...
Read more »

2024: Aritmatika Jilid XII

Gambar
Aritmatika adalah event tahunan yang diselenggarakan oleh Himpunan Mahasiswa Pendidikan Matematika Universitas Sebelas Maret Surakarta. Dalam Aritmatika jilid XII terdapat tiga rangkaian acara yaitu Lomba Olimpiade Matematika, Lomba Media Pembelajaran Matematika Tingkat Nasional, dan Lomba Microteching tingkat Nasional. 1. Olimpiade Matematika Lomba ini diperuntukkan bagi siswa SMP, SMA, atau sederajat dari seluruh Indonesia. Lomba ini bersifat individu, tidak berkelompok. Setiap sekolah dibolehkan mengirimkan lebih dari satu delegasi. Timeline untuk olimpiade ini sebagai berikut: 1 s/d 20 Juli 2024: Pendaftaran Gelombang 1, dengan biaya pendaftaran Rp 40.000 untuk SMP dan Rp 45.000 untuk SMA. 22 Juli s/d 10 Agustus 2024: Pendaftaran Gelombang 2, dengan biaya pendaftaran Rp 45.000 untuk SMP dan Rp 50.000 untuk SMA. 12 s/d 25 Agustus 2024: Pendaftaran Gelombang 3, dengan biaya pendaftaran Rp 50.000 untuk SMP dan Rp 55.000 untuk SMA. 1 September 2024: Technical Meeting (Online) 7 Septemb...
Read more »

Kombinasi Linear Vektor dan Rentang

Gambar
1. Ruang Penyelesaian untuk Sistem-Sistem Homogen Jika A x = b adalah suatu sistem persamaan linear, maka setiap vektor x yang memenuhi persamaan ini disebut suatu vektor penyelesaian dari sistem tersebut. Teorema berikut ini menunjukkan bahwa vektor penyelesaian dari suatu sistem linear homogen membentuk suatu ruang vektor, yang akan kita sebut sebagai ruang penyelesaian dari sistem tersebut. Teorema: "Jika A x = 0 adalah suatu sistem linear homogen dari m persamaan dalam n variabel, maka himpunan vektor penyelesaiannya adalah suatu subruang dari R-n". Bukti: Anggap W adalah himpunan vektor penyelesaian. Paling tidak ada satu vektor dalam W, yaitu 0 . Untuk menunjukkan bahwa W tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar, kita harus menunjukkan bahwa jika x dan x ' adalah sembarang vektor-vektor penyelesaian dan k adalah sembarang skalar, maka x + x ' dan k x juga merupakan vektor-vektor penyelesaian. Akan tetapi, jika x dan x ' adalah vektor-vekt...
Read more »