Kurva Dalam Dimensi Tiga

1. Kurva dalam Ruang

Umumnya dalam bentuk parametrik kurva dalam ruang dinyatakan sebagai:

x = f(t), y = g(t), z = h(t), a ≤ t ≤ b

Kurva dikatakan mulus selama f'(t), g'(t), dan h'(t) ada dan tidak pernah bersama-sama nol.

Grafik fungsi r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k adalah adalah kurva parametrik x = f(t), y = g(t), z = h(t) yang dipandang sebagai lintasan dari titik ujung vektor posisi r(t).

contoh: Diberikan bentuk parametrik kurva dalam ruang dengan x = cos(t), y = sin(t), z = t, 0 ≤ t ≤ 2𝜋. Untuk menggambar grafiknya, dapat dibuat titik-titik bantu lalu dihubungkan.

Setelah titik-titik bantu terhubung, terbentuklah sketsa grafik kurva.

2. Gerak Sepanjang Kurva

Misal t menunjukkan waktu, koordinat titik P dalam bentuk parametrik diberikan sebagai x = f(t), y = g(t), z = h(t). Vektor r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k disebut vektor posisi dari titik P.

Selama t berubah, ujung vektor melalui lintasan yang dilalui titik P yang merupakan suatu kurva. Gerak titik P tersebut dinamakan gerak sepanjang kurva. Kecepatan dan percepatan dari gerak titik P tersebut didefinisikan sebagai:

v(t) = r'(t) = f'(t)i + g'(t)j + h'(t)k

a(t) = r''(t) = f''(t)i + g''(t)j + h''(t)k

Misal r(t) adalah vektor posisi dari suatu objek maka panjang busur lintasan yang dilalui oleh objek tersebut dari waktu t = a sampai t = b adalah:

Panjang busur kurva dari t = a sampai dengan sebarang t adalah:

Berdasarkan teorema dasar kalkulus pertama, laju dari suatu objek adalah:

Laju merupakan turunan panjang terhadap waktu. Perlu diketahui bahwa kecepatan merupakan vektor, sedangkan laju merupakan skalar.

3. Helix

Lintasan objek yang ditentukan oleh r(t) = a.cos(𝜔t)i + a.sin(𝜔t)j + ctk disebut helix. Kecepatan dan percepatan dari suatu helix adalah:

v(t) = r'(t) = −a𝜔.sin(𝜔t)i + a𝜔.cos(𝜔t)j + ck

a(t) = v'(t) = −a𝜔².cos(𝜔t)i − a𝜔².sin(𝜔t)j 

sedangkan kecepatannya adalah:

4. Garis Singgung Kurva

Misal r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k = ⟨f(t), g(t), h(t)⟩ adalah vektor posisi yang menentukan kurva di ruang dimensi tiga. Garis singgung dari kurva memiliki vektor arah:

r'(t) = f'(t)i + g'(t)j + h'(t)k = ⟨f'(t), g'(t), h'(t)⟩

contoh:

Suatu kurva dengan vektor posisi r(t) = 2ti + (3t² − 9)j + (t² + 1)k, tentukan persamaan garis singgung kurva pada saat t = 2

Pada saat t = 2, koordinat titik P adalah (2.2, 3.2² − 9, 2² + 1) = (4, 3, 5)

Garis singgung kurva memiliki vektor arah r'(t) = 2i + 6tj + 2tk 

r'(2) = 2i + 12j + 4k, sehingga vektor arahnya ⟨2, 12, 4⟩

Persamaan parametrik garis: x = 4 + 2t, y = 3 + 12t, z = 5 + 4t