Nilai Maksimum dan Minimum (KPB)

1. Nilai Maksimum dan Minimum Global dan Lokal

Misalkan kita memiliki suatu fungsi f yang didefinisikan pada daerah asal S. Kita katakan bahwa:

(i) Nilai maksimum global: Nilai f(p₀) adalah nilai maksimum global dari fungsi f pada daerah S jika nilai fungsi f di setiap titik p dalam daerah S selalu lebih kecil atau sama dengan nilai f(p₀). Secara matematis, ini dapat ditulis sebagai:

f(p) ≤ f(p₀); ∀p ∈ S

Artinya, tidak ada titik lain dalam daerah S yang menghasilkan nilai fungsi yang lebih besar dari f(p₀).

(ii) Nilai minimum global: Nilai f(p₀) adalah nilai minimum global dari fungsi f pada daerah S jika nilai fungsi f di setiap titik p dalam daerah S selalu lebih besar atau sama dengan nilai f(p₀). Secara matematis, ini dapat ditulis sebagai:

f(p₀) ≤ f(p); ∀p ∈ S

Artinya, tidak ada titik lain dalam daerah S yang menghasilkan nilai fungsi yang lebih kecil dari f(p₀).

(iii) Nilai ekstrim global: Nilai f(p₀) adalah nilai ekstrim global dari fungsi f pada daerah S jika nilai f(p₀) merupakan nilai maksimum global atau nilai minimum global dari fungsi f pada daerah S.

Selanjutnya, f(p₀) disebut nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal. Jika pada poin (i) dan (ii) disyaratkan bahwa pertidaksamaan f(p₀) ≥ f(p) dan f(p₀) ≤ f(p) berlaku hanya pada N ∩ S, di mana N adalah lingkungan/persekitaran dari p₀.

Dan f(p₀) disebut nilai ekstrim lokal dari f jika f(p₀) adalah nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal.

2. Keberadaan Nilai Maksimum dan Minimum

Jika suatu fungsi f kontinu pada suatu himpunan tertutup dan terbatas S, maka fungsi f pasti mencapai nilai maksimum dan minimum (global) pada himpunan S tersebut.

Misalkan f adalah suatu fungsi dengan daerah asal S yang memuat titik p₀. Jika f(p₀) adalah suatu nilai ekstrim (maksimum atau minimum), maka p₀ haruslah salah satu dari titik-titik kritis berikut:

(i) Titik-titik perbatasan domain: Titik p₀ terletak pada batas atau tepi dari daerah asal fungsi f.

(ii) Titik-titik stasioner: Titik p₀ adalah titik di mana turunan pertama dari fungsi f sama dengan nol, yaitu ∇f(p₀) = 0. Pada titik ini, grafik fungsi memiliki garis singgung yang mendatar.

(iii) Titik-titik singular: Titik p₀ adalah titik di mana fungsi f tidak terdefinisi atau tidak dapat diturunkan. Contohnya, titik ujung tajam pada grafik fungsi.

Contoh:

1. Carilah nilai-nilai ekstrim f(x, y) = x² − 2x + ¼y²

Fungsi yang diberikan di atas diferensiabel di sepanjang daerah asal (bidang XOY). Jadi titik-titik kritis yang mungkin hanyalah titik-titik stasioner yang diperoleh dengan menetapkan ∇f(p₀) = 0 atau dengan kata lain f_x(x, y) = 0 dan f_y(x, y) = 0.

Diperoleh f_x(x, y) = 2x − 2 = 0 sehingga diperoleh x = 1.

f_y(x,y) = 2y/4 = y/2 = 0 sehingga diperoleh y = 0.

Dengan demikian fungsi 𝑓 mencapai nilai ekstrim hanya pada satu titik di (1, 0) dengan nilai ektrimnya 𝑓(1, 0) = −1. 

Dengan kata lain, titik ekstrim dari 𝑓 adalah (1, 0, −1).

2. Temukan nilai minimum atau maksimum lokal dari fungsi f(x, y) = −x²/a² + y²/b².

Titik-titik kritis hanya diperoleh dengan menetapkan turunan parsial f_x(x, y) = −2x/a² dan f_y(x, y) = 2y/b² sama dengan nol. Ini menghasilkan titik (0, 0), yang tidak memberikan nilai maksimum maupun minimum. Titik ini disebut titik pelana. Fungsi yang diberikan tidak memiliki ekstrem lokal.

3. Uji Parsial Kedua

Misalkan fungsi f(x, y) memiliki turunan parsial kedua yang kontinu di suatu lingkungan (x₀, y₀) dan gradien dari f di titik (x₀, y₀) sama dengan nol, ∇f(x₀, y₀) = 0.

Misalkan kita definisikan D sebagai berikut:

D = D(x₀, y₀) = f_xx(x₀, y₀).f_yy(x₀, y₀) − [f_xy(x₀, y₀)]²

(i) Jika D > 0 dan f_xx(x₀, y₀) < 0, maka f(x₀, y₀) adalah nilai maksimum lokal.

(ii) Jika D > 0 dan f_xx(x₀, y₀) > 0, maka f(x₀, y₀) adalah nilai minimum lokal.

(iii) Jika D < 0, maka f(x₀, y₀) bukan nilai ekstrem (titik pelana).

(iv) Jika D = 0, maka uji ini tidak memberikan informasi yang cukup untuk menentukan apakah (x₀, y₀) adalah titik ekstrem atau bukan.

Contoh:

Tentukan jarak minimum dari titik O ke permukaan z² = x²y + 4

Misalkan P(x, y, z) adalah sembarang titik pada permukaan. Kuadrat jarak antara titik O dan P adalah d² = x² + y² + z². Kita mencari koordinat P yang membuat d² (dan dengan demikian d) minimum.

Karena P berada pada permukaan, maka koordinatnya memenuhi persamaan permukaan. Dengan mensubstitusikan z² = x²y + 4 ke dalam d² = x² + y² + z², kita memperoleh d² sebagai fungsi dari dua variabel x dan y.

d² = x² + y² + x²y + 4

Untuk menemukan titik-titik kritis, kita samakan turunan parsial f_x(x, y) = 0 dan f_y(x, y) = 0, sehingga diperoleh:

2x + 2xy = 0 dan 2y + x² = 0

Dengan mengeliminasi y di antara kedua persamaan ini, kita mendapatkan:

2x − x³ = 0

Dengan demikian, x = 0 atau x = ±√2. Dengan mensubstitusikan nilai-nilai ini ke persamaan kedua, kita mendapatkan y = 0 dan y = −1. Oleh karena itu, titik-titik kritisnya adalah (0, 0), (√2, −1), dan (−√2, −1). (Tidak ada titik batas).

Untuk menguji masing-masing titik ini, kita perlu mencari turunan parsial kedua f_xx(x, y) = 2 + 2y, f_yy(x, y) = 2, dan f_xy(x, y) = 2x.

Kemudian, kita hitung diskriminan D(x, y) = f_xxf_yy − f_xy² = 4 + 4y − 4x².

Karena D(±√2, −1) = −8 < 0, maka baik (√2, −1) maupun (−√2, −1) bukan titik ekstrem.

Namun, D(0, 0) = 4 > 0 dan f_xx(0, 0) = 2 > 0, sehingga (0, 0) memberikan jarak minimum. Dengan mensubstitusikan x = 0 dan y = 0 ke dalam persamaan d², kita temukan d² = 4.

Jadi, jarak minimum antara titik asal dan permukaan yang diberikan adalah 2.

4. Algoritma Minimum dan Maksimum Global

Berikut diberikan algoritma untuk menentukan global extrema, yaitu minimum dan maksimum global.

(i) Tentukan semua titik kritis dari fungsi di dalam daerah asal 𝐷 dan tetapkan nilai fungsinya.

(ii) Tentukan semua extrema dari fungsi pada garis batas (boundary).

(iii) Nilai terkecil dan terbesar yang didapat dalam kedua langkah di atas adalah nilai minimum global dan nilai maksimum global.

Contoh:

Tentukan titik minimum global dan maksimum global dari 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥² − 𝑦² + 6𝑦 pada daerah lingkaran dengan radius 4, yaitu 𝑥² + 𝑦² ≤ 16.

(i) Menentukan semua titik kritis dari fungsi di dalam daerah di dalam lingkaran dan tetapkan nilai fungsinya.

𝑓_x = 4𝑥 = 0

𝑓_y = −2𝑦 + 6 = 0.

Diperoleh 𝑥 = 0 dan 𝑦 = 3. Sehingga titik kritis fungsi adalah (0, 3), dengan nilai fungsi 𝑓(0, 3) = 9.

(ii) Menentukan semua extrema dari fungsi pada garis batas (boundary) berbentuk lingkaran

x² + y² = 16. Karena x² = 16 − y², sehingga diperoleh

g(y) = 2(16 − y²) − y² + 6y = −3y² + 6y + 32.

Kemudian mencari titik kritis g(y) pada range −4 ≤ y ≤ 4.

g'(y) = 0 ⇔ −6y + 6 = 0 ⇔ y = 1

Nilai g pada titik-titik ujung y = −4, y = 4 dan titik kritis y = 1 adalah

g(−4) = −40, g(4) = 8, g(1) = 35.

Karena x² = 16 − y², sehingga diperoleh

y = −4: x² = 16 − 16 = 0 → x = 0

y = 4: x² = 16 − 16 = 0 → x = 0

y = 1: x² = 16 − 1 = 15 → x = ±√15

Dikembalikan ke fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦) diperoleh

𝑓(0, −4) = −40

𝑓(0, 4) = 8

𝑓(15, 1) = 35

𝑓(−15, 1) = 35

Jadi, fungsi 𝑓 mencapai minimum global di (0, −4) dengan nilai minimum −40 dan mencapai maksimum global di (15, 1) dan (−15, 1) dengan nilai maksimumnya 35.