Luas Segitiga dengan Trigonometri

1. Luas Segitiga Diketahui Alas dan Tinggi
Misal diberikan segitiga dengan alas b dan tinggi h, rumus luasnya adalah:
L = ½.b.h
Luas segitiga adalah setengah kali alas kali tinggi.

2. Luas Segitiga Diketahui Panjang Sisi-Sisinya (S - S - S)
A. Rumus Heron
Misalkan panjang suatu segitiga dengan panjang sisinya a, b, dan c, luasnya adalah:
dengan s adalah setengah keliling segitiga.
B. Rumus Cayley-Menger
Misal diberikan segitiga dengan panjang sisinya a, b, c. Selain menggunakan rumus Heron, kita juga bisa menggunakan rumus Cayley-Menger yang ditemukan oleh Arthur Cayley dan Karl Menger. Berikut rumus luas segitiga berdasarkan sisi-sisinya menggunakan rumus Cayley-Menger:

3. Luas Segitiga Diketahui Dua Sisi dan Satu Sudut (S - A - S)
Perhatikan gambar berikut:
Diberikan segitiga ABC dan titik D terletak pada sisi BC sehingga AD merupakan garis tinggi.
Sehingga luasnya adalah L = ½.|AD|.|BC|
Perhatikan segitiga ABD, siku-siku di D
|AD| = |AB|.sin(B) = c.sin(B) ...(i)
Perhatikan segitiga ACD, siku-siku di D
|AD| = |AC|.sin(C) = b.sin(C) ...(ii)
Dari (i), luas segitiga ABC adalah L = ½.a.c.sin(B)
Dari (ii), luas segitiga ABC adalah L = ½.a.b.sin(C)
secara analog, berlaku juga L = ½.a.b.sin(C)
Sehingga luas segitiga ABC adalah:
L = ½.a.b.sin(C)
L = ½.a.c.sin(B)
L = ½.b.c.sin(A)

4. Luas Segitiga Diketahui Dua Sudut dan Satu Sisi (A - S - A)
Ingat kembali:
L = ½.a.b.sin(C)
Ingat kembali aturan sinus:
sehingga diperoleh:
secara analog:

Contoh Soal
1. Diketahui segitiga ABC dengan panjang AC = 6 cm, besar ∠A = 60° dan ∠C = 75°. Luas segitiga ABC adalah…
Jadi, luasnya adalah 21,294 cm²

2. Luas suatu jajar genjang yang panjang sisi berturutan adalah 6 cm dan 9 cm, dan sebuah sudutnya sama dengan 60° adalah…
Luas jajargenjang adalah dua kali luas segitiga.
L = 2 × ½ × 6 × 9 × sin(60°) = 27√3 ≈ 46,765 cm²

3. Diketahui jari-jari lingkaran luar segi-12 beraturan adalah 16cm. Luas segi-12 yang dapat dibuat adalah…
Karena segi-12 beraturan, dapat dibagi menjadi 12 segitiga yang kongruen, sehingga luasnya adalah:
L = 12 × ½ × 16 × 16 × sin(360°/12) = 768 cm²

4. Diketahui ∆ABC dengan panjang sisi AB = 3 cm, AC = 4 cm dan ∠CAB = 60°. Misal titik F pada sisi AB sehingga CF merupakan garis tinggi. Panjang CF adalah...
Rumus luas segitiga S-A-S
L = ½.b.c.sin(A) = ½.4.3.sin(60°) = 3√3 cm²
Rumus luas segitiga diketahui alas dan tinggi
L = ½.|AB|.|CF|
½.3.|CF| = 3√3
|CF| = 2√3 ≈ 3,464 cm
Jadi, panjang CF adalah 3,464 cm

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Rotasi Baru (Komposisi Geseran dan Rotasi)

Gambar
1. Komposisi Geseran dengan Rotasi Untuk sebarang titik A, B, P, dan besar sudut θ, selalu dapat ditemukan titik C sehingga: a. S AB R P, θ  = R C, θ   Misal terdapat dua garis sejajar r dan s dengan jarak antara keduanya adalah ½|AB|, sehingga dipenuhi S AB  = M r M s . Misal terdapat garis t yang memotong s di P dengan sudut antara s dan t adalah ½θ, sehingga dipenuhi R P, θ  = M s M t . Kita dapat menguraikan S AB R P, θ  = (M r M s )(M s M t ) = M r M s M s M t   = M r IM t   = M r M t , karena r sejajar s, sudut antara r dan t juga ½θ, misal r dan t berpotongan di C = R C, θ   b. R P, θ S AB  = R C, θ   Misal terdapat dua garis sejajar r dan s dengan jarak antara keduanya adalah ½|AB|, sehingga dipenuhi S AB  = M s M r . Misal terdapat garis t yang memotong s di P dengan sudut antara s dan t adalah ½θ, sehingga dipenuhi R P, θ  = M t M s . Kita dapat menguraikan R P, θ S AB  = M t M s M s M r   = M t ...
Read more »

2024: Aritmatika Jilid XII

Gambar
Aritmatika adalah event tahunan yang diselenggarakan oleh Himpunan Mahasiswa Pendidikan Matematika Universitas Sebelas Maret Surakarta. Dalam Aritmatika jilid XII terdapat tiga rangkaian acara yaitu Lomba Olimpiade Matematika, Lomba Media Pembelajaran Matematika Tingkat Nasional, dan Lomba Microteching tingkat Nasional. 1. Olimpiade Matematika Lomba ini diperuntukkan bagi siswa SMP, SMA, atau sederajat dari seluruh Indonesia. Lomba ini bersifat individu, tidak berkelompok. Setiap sekolah dibolehkan mengirimkan lebih dari satu delegasi. Timeline untuk olimpiade ini sebagai berikut: 1 s/d 20 Juli 2024: Pendaftaran Gelombang 1, dengan biaya pendaftaran Rp 40.000 untuk SMP dan Rp 45.000 untuk SMA. 22 Juli s/d 10 Agustus 2024: Pendaftaran Gelombang 2, dengan biaya pendaftaran Rp 45.000 untuk SMP dan Rp 50.000 untuk SMA. 12 s/d 25 Agustus 2024: Pendaftaran Gelombang 3, dengan biaya pendaftaran Rp 50.000 untuk SMP dan Rp 55.000 untuk SMA. 1 September 2024: Technical Meeting (Online) 7 Septemb...
Read more »

Kombinasi Linear Vektor dan Rentang

Gambar
1. Ruang Penyelesaian untuk Sistem-Sistem Homogen Jika A x = b adalah suatu sistem persamaan linear, maka setiap vektor x yang memenuhi persamaan ini disebut suatu vektor penyelesaian dari sistem tersebut. Teorema berikut ini menunjukkan bahwa vektor penyelesaian dari suatu sistem linear homogen membentuk suatu ruang vektor, yang akan kita sebut sebagai ruang penyelesaian dari sistem tersebut. Teorema: "Jika A x = 0 adalah suatu sistem linear homogen dari m persamaan dalam n variabel, maka himpunan vektor penyelesaiannya adalah suatu subruang dari R-n". Bukti: Anggap W adalah himpunan vektor penyelesaian. Paling tidak ada satu vektor dalam W, yaitu 0 . Untuk menunjukkan bahwa W tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar, kita harus menunjukkan bahwa jika x dan x ' adalah sembarang vektor-vektor penyelesaian dan k adalah sembarang skalar, maka x + x ' dan k x juga merupakan vektor-vektor penyelesaian. Akan tetapi, jika x dan x ' adalah vektor-vekt...
Read more »