Trigonometri pada Segiempat

1. Trigonometri pada Jajargenjang

A. Luas Jajargenjang

Perhatikan gambar berikut:

Diberikan jajargenjang ABCD dengan titik E pada sisi AB dan titik F pada sisi CD sedemikian hingga DE ⊥ AB dan BF ⊥ CD, yang berarti ∠AED dan ∠CFB keduanya siku-siku.

Misal suatu jajar genjang diketahui alas dan tingginya, luas jajargenjang adalah:

L = alas × tinggi

pada gambar yang diberikan, L = |AB| × |DE|

Perhatikan segitiga ADE

|DE| = |AD|.sin(∠EAD) = |AD|.sin(∠BAD)

∴ L = |AB|.|AD|.sin(∠BAD)

B. Diagonal Jajargenjang

Menurut aturan kosinus, berlaku:

|AC|² = |AB|² + |BC|² – 2.|AB|.|BC|.cos(∠ABC)

|BD|² = |AB|² + |AD|² – 2.|AB|.|AD|.cos(∠BAD)

|BD|² = |AB|² + |BC|² + 2.|AB|.|BC|.cos(∠ABC)

C. Sudut Dalam

sehingga diperoleh:
|AC|.cos(∠BAC) = |AB| – |BC|.cos(∠ABC)

|AC|.cos(∠BAC) + |BC|.cos(∠ABC) = |AB|

secara analog, berlaku juga:

|AB|.cos(∠ABC) + |AC|.cos(∠ACB) = |BC|

2. Trigonometri pada Belah Ketupat

A. Luas Belah Ketupat

Perhatikan gambar berikut:

Diberikan belah ketupat ABCD. Kedua diagonalnya adalah AC dan BD. Luas belah ketupat adalah:

L = ½ × |AC| × |BD|

Ingat kembali bahwa belah ketupat merupakan subset dari jajargenjang, sehingga:

L = |AB|.|AD|.sin(∠BAD)

L = s².sin(∠BAD)

B. Diagonal Belah Ketupat

Menurut aturan kosinus, berlaku:

|AC|² = |AB|² + |BC|² – 2.|AB|.|BC|.cos(∠ABC)

|BD|² = |AB|² + |BC|² + 2.|AB|.|BC|.cos(∠ABC)

bisa juga dituliskan:

|AC|² = 2s² – 2.s².cos(∠ABC) = 2.s².[1 – cos(∠ABC)]

|BD|² = 2s² + 2.s².cos(∠ABC) = 2.s².[1 + cos(∠ABC)]

3. Trigonometri pada Layang-Layang

A. Luas Layang-Layang

Perhatikan gambar berikut:

Pada gambar ini AC dan BD merupakan diagonal layang-layang, sehingga luasnya ½ × AC × BD.

Pada gambar yang diberikan, diagonal AC membagi layang-layang menjadi 2 segitiga yang kongruen, yaitu ABC dan ADC, sehingga luasnya dapat ditentukan menggunakan trigonometri.

L = 2 × ½ × |AB| × |BC| × sin(∠ABC)

L = |AB| × |BC| × sin(∠ABC)

B. Diagonal Layang-Layang

Menurut aturan kosinus, berlaku:

|AC|² = |AB|² + |BC|² – 2.|AB|.|BC|.cos(∠ABC)

4. Trigonometri pada Trapesium

A. Luas Trapesium

Perhatikan gambar berikut:

Diberikan trapesium ABCD dengan AB sejajar DC. Titik E dan F pada sisi AB sehingga DE dan CF tegak lurus AB. Rumus untuk luasnya adalah:

L = ½ × (|AB| + |CD|) × |DE|

Perhatikan segitiga ADE

|DE| = |AD| × sin(∠BAD) = |BC| × sin(∠ABC)

Sehingga

L = ½ × (|AB| + |CD|) × |AD| × sin(∠BAD)

L = ½ × (|AB| + |CD|) × |BC| × sin(∠ABC)

B. Diagonal Trapesium

Menurut aturan kosinus berlaku:

|AC|² = |AB|² + |BC|² – 2.|AB|.|BC|.cos(∠ABC)

|BD|² = |AB|² + |AD|² – 2.|AB|.|AD|.cos(∠BAD)

Perhatikan segitiga AOB dan COD, keduanya sebangun. Dari kesebangunannya berlaku perbandingan

|CD|/|AB| = |CO|/|AO| = |DO|/|BO|

C. Sudut Dalam

sehingga diperoleh:
|AC|.cos(∠BAC) = |AB| – |BC|.cos(∠ABC)

|AC|.cos(∠BAC) + |BC|.cos(∠ABC) = |AB|

secara analog, berlaku juga:

|AB|.cos(∠ABC) + |AC|.cos(∠ACB) = |BC|

5. Segiempat Secara Umum

A. Luas Segiempat Umum

Perhatikan gambar berikut:

Diberikan segiempat ABCD dengan titik O merupakan perpotongan dari diagonal AC dan BD. Segiempat ini terbagi menjadi 4 segitiga, yaitu AOB, BOC, COD, dan AOD. Untuk menentukan luasnya, kita dapat menghitung luas masing-masing lalu dijumlahkan. Perhatikan:

[AOB] = ½ × |AO| × |BO| × sin(∠AOB)

[BOC] = ½ × |BO| × |CO| × sin(∠BOC)

[COD] = ½ × |CO| × |DO| × sin(∠COD)

[AOD] = ½ × |AO| × |DO| × sin(∠AOD)

Perhatikan bahwa ∠AOB = ∠COD karena bertolak belakang ...(i)

Perhatikan bahwa ∠AOD = ∠BOC karena bertolak belakang ...(ii)

Perhatikan bahwa sin(∠AOB) = sin(∠BOC) karena bersuplemen ...(iii)

Dari (i), (ii), dan (iii) diperoleh sin(∠AOB) = sin(∠BOC) = sin(∠COD) = sin(∠AOD)

sehingga:

[ABCD] = [AOB] + [BOC] + [COD] + [AOD]

= ½ × sin(∠AOB) × (|AO| + |CO|) × (|BO| + |DO|)

= ½ × sin(∠AOB) × |AC| × |BD|

Jadi, luas segiempat secara umum adalah setengah hasil kali kedua diagonalnya dikalikan sinus sudut antara kedua diagonal.

B. Segiempat Talibusur

Misal suatu segiempat talibusur dengan sisi-sisinya a, b, c, d dan kedua diagonalnya e, f, ingat kembali teorema Ptolomeus:

ef = ac + bd

sehingga dapat dirumuskan luasnya:

L = ½.e.f.sin(φ) = ½.(ac + bd).sin(φ), dengan φ sudut antara e dan f

ingat kembali rumus Brahmagupta:

dengan s setengah keliling.

Kita dapat mencari sinus sudut antara kedua diagonalnya:

6. Jumlah Sinus

sin(A) + sin(B) + sin(C) + sin(D) = sin(A) + sin(B) + sin(C) + sin[360° − (A + B + C)]

= sin(A) + sin(B) + sin(C) − sin(A + B + C)

perhatikan bahwa

sehingga diperoleh: