Aturan Rantai dan Turunan Fungsi Komposisi

Jika f dan g keduanya mempunyai turunan maka fungsi komposisi f ○ g juga mempunyai turunan dengan:

(f ○ g)'(x) = (f' ○ g)(x).g'(x)

Boleh dikatakan bahwa cara menurunkannya adalah diturunkan dari yang paling luar, lalu ke dalam, lalu ke dalam.

Jika y = f(u) dan u = g(x), sehingga y = f(g(x)), maka dapat dinotasikan:

dy/dx adalah turunan y terhadap x, dy/du adalah turunan y terhadap u, du/dx adalah turunan u terhadap x.

Jika y = f(u) dan u = g(x) maka y = f(g(x)). Karena y = f(u) mempunyai turunan maka:

Karena y merupakan fungsi kontinu dari u maka untuk Δu = 0 berakibat Δy = 0. Oleh sebab itu persamaan ini juga berlaku untuk Δu = 0. Jadi, untuk semua Δu berlaku Δy = (dy/du).Δu + tΔu

Apabila kedua ruas dibagi dengan Δx maka diperoleh:

Karena u = g(x) kontinu, maka untuk Δx → 0 berakibat Δu → 0. Sehingga diperoleh:

Akibatnya,

Aturan rantai ini dapat dikembangkan untuk fungsi komposisi yang lebih komposit lagi:

(f ○ g ○ h)'(x) = (f' ○ g ○ h)(x).(g' ○ h)(x).h'(x)

(f ○ g ○ h ○ i)'(x) = (f' ○ g ○ h ○ i)(x).(g' ○ h ○ i)(x).(h' ○ i)(x).i'(x)

Notasi rantai untuk fungsi komposisi 3 lapis y = f(u), u = g(v), dan v = h(x):

Notasi rantai untuk fungsi komposisi banyak lapis:

Contoh soal dan pembahasan