Berkas dan Jaringan Bola

1. Berkas yang Terbentuk oleh Dua Bola

Misal diberikan bola S₁ = 0 dan S₂ = 0. Persamaan S₁ + λS₂ = 0, dengan λ parameter merupakan persamaan berkas bola. Semua bola yang dinyatakan oleh persamaan ini melalui lingkaran potong kedua bola.

• Sebuah berkas bola ditentukan oleh tiap dua bola.

• Bidang kuasa dari S₁ = 0 dan S₂ = 0 adalah juga bidang kuasa tiap dua bola dari berkas tersebut.

• Jika dipotong sebuah berkas bola dengan bidang datar melalui sumbu sentralnya, maka irisannya berupa berkas lingkaran yang garis kuasanya adalah garis potong dengan bidang kuasa berkas tersebut.

Contoh:

Tentukan persamaan bola yang menyinggung S₁: x² + y² + z² – x + 3y + 2z – 3 = 0 pada titik (1, 1, –1) dan melalui titik O.

• S menyinggung S₁: x² + y² + z² – x + 3y + 2z – 3 = 0 pada titik (1, 1, –1), berarti S merupakan anggota berkas yang dibentuk oleh bola S₁ dan bola titik dari titik (1, 1, –1), dapat dituliskan

S: (x – 1)² + (y – 1)² + (z + 1)² + λ(x² + y² + z² – x + 3y + 2z – 3) = 0

S: (1 + λ)x² + (1 + λ)y² + (1 + λ)z² + (–2 – λ)x + (–2 + 3λ)y + (2 + 2λ)z + 3 – 3λ = 0

• S melalui O, sehingga berlaku (0 – 1)² + (0 – 1)² + (0 + 1)² + λ(0² + 0² + 0² – 0 + 3.0 + 2.0 – 3) = 0

3 – 3λ = 0

λ = 1, masukkan ke persamaan S

S: 2x² + 2y² + 2z² – 3x + y + 4z = 0

2. Berkas yang Terbentuk oleh Bola dan Bidang Bersinggungan

Semua bola yang menyinggung di titik (x₁, y₁, z₁) pada bidang datar A(x – x₁) + B(y – y₁) + C(z – z₁) = 0 membentuk sebuah berkas, salah satu anggotanya adalah (x – x₁)² + (y – y₁)² + (z – z₁)² = 0.

Bidang yang ditentukan adalah bidang kuasa berkas tersebut, sehingga berlakulalah persamaan berkasnya.

(x – x₁)² + (y – y₁)² + (z – z₁)² + λ[A(x – x₁) + B(y – y₁) + C(z – z₁)] = 0

3. Berkas yang Terbentuk oleh Bola dan Bidang Berpotongan

Misal diberikan bola S = 0 dan bidang V = 0. Persamaan S + λV = 0, dengan λ parameter merupakan persamaan berkas bola. Semua bola yang dinyatakan oleh persamaan ini melalui lingkaran potong bola dan bidang.

Contoh:

Tentukan persamaan bola melalui lingkaran l: x² + y² + z² = 9, 2x + 3y + 4z = 5 serta melalui titik (1, 2, 3)

S melalui lingkaran yang terbentuk oleh perpotongan x² + y² + z² – 9 = 0 dan 2x + 3y + 4z – 5 = 0, sehingga dapat dituliskan dalam bentuk berkas S: x² + y² + z² – 9 + λ(2x + 3y + 4z – 5) = 0

S melalui (1, 2, 3) sehingga berlaku 1² + 2² + 3² – 9 + λ(2.1 + 3.2 + 4.3 – 5) = 0

5 + 15λ = 0

λ = –⅓, masukkan ke persamaan bola

S: x² + y² + z² – 9 – ⅓(2x + 3y + 4z – 5) = 0

S: x² + y² + z² – (2/3)x – y – (4/3)z – 22/3 = 0

4. Jaringan yang Terbentuk oleh Tiga Bola

Misal S₁ = 0, S₂ = 0 dan S₃ = 0 adalah bola-bola yang tidak dalam berkas yang sama, kombinasi linear S₁ + λS₂ + μS₃ = 0 menyatakan sistem bola atau jaringan bola.

Semua bola dari persamaan tersebut melalui kedua titik potong (riil atau khayal) dari ketiga bola yang ditentukan.

Titik-titik pusat bola dari jaringan bola pada umumnya terletak pada bidang datar, yaitu bidang yang tegak lurus dari potongan garis penghubung titik-titik alas. Bidang ini dinamakan bidang sentral dari jaringan tersebut.

5. Jaringan yang Terbentuk oleh Bola yang Menyinggung Garis Potong Dua Bidang

Semua bola menyinggung suatu garis g: V₁ = 0, V₂ = 0 di suatu titik (x₁, y₁, z₁) membentuk jaringan bola yang dapat dituliskan S: (x – x₁)² + (y – y₁)² + (z – z₁)² + λV₁ + μV₂ = 0.

Contoh:

Tentukan persamaan bola yang memotong tegak lurus S₁: x² + y² + z² – 6x + 4y – 2z – 11 = 0, membagi dua sama besar S₂: x² + y² + z² – 3 = 0, serta menyinggung garis g: x = 7 – 2y = –z di titik P(1, 3, –1).

• Garis g dapat ditulis g: x + 2y – 7 = 0, x + z = 0

Bola S menyinggung g di P, sehingga S: (x – 1)² + (y – 3)² + (z + 1)² + λ(x + 2y – 7) + μ(x + z) = 0

S: x² + y² + z² + (–2 + λ + μ)x + (–6 + 2λ)y + (2 + μ)z + 11 – 7λ = 0 (i)

• S₁ berpusat di M₁(3, –2, 1) dengan kuadrat jari-jarinya 25

S memotong tegak lurus S₁ sehingga kuasa M₁ terhadap S adalah 25

(3 – 1)² + (–2 – 3)² + (1 + 1)² + λ(3 + 2(–2) – 7) + μ(3 + 1) = 25

4 + 25 + 4 – 8λ + 4μ = 25

–8λ + 4μ = –8

–2λ + μ = –2 (ii)

• S₂ berpusat di O dengan kuadrat jari-jarinya 3

S membagi S₂ menjadi dua bagian samabesar, sehingga kuasa O terhadap S adalah –3

(0 – 1)² + (0 – 3)² + (0 + 1)² + λ(0 + 2.0 – 7) + μ(0 + 0) = –3

11 – 7λ = –3

–7λ = –14

λ = 2, masukkan ke (ii)

–2.2 + μ = –2

μ = 2

Persamaan bola S adalah S: (x – 1)² + (y – 3)² + (z + 1)² + 2(x + 2y – 7) + 2(x + z) = 0

S: x² + y² + z² + 2x – 2y + 4z – 3 = 0

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Tentukan lingkaran dasar berkas bola yang memotong tegak lurus S₁: x² + y² + z² – 2x – 2 = 0, membagi samabesar S₂: x² + y² + z² + 2y – 4z + 4 = 0, serta melalui N(1, 0, –1)

• Misal bola S: x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D = 0

• S memotong tegak lurus S₁, sehingga kuasa pusat S₁ terhadap S adalah 3

1² + 0² + 0² + 1.A + 0.B + 0.C + D = 3

A + D = 2 (i)

• S membagi samabesar S₂, sehingga kuasa pusat S₂ terhadap S adalah –1

0² + (–1)² + 2² + 0.A – B + 2C + D = –1

–B + 2C + D = –6 (ii)

• S melalui N(1, 0, –1) sehingga berlaku 1² + 0² + (–1)² + 1.A + 0.B – C + D = 0

A – C + D = –2 (iii)

(i) – (iii) → C = 4, masukkan ke (ii)

–B + 2.4 + D = –6

B = D + 14

Masukkan C = 4 ke (iii)

A – 4 + D = –2

A = 2 – D

Masukkan A, B, C ke persamaan bola S

S: x² + y² + z² + (2 – D)x + (D + 14)y + 4z + D = 0

S: x² + y² + z² + 2x + 14y + 4z + D(–x + y + 1) = 0

Anggap D sebagai parameter, S merupakan sebarang anggota berkas dengan lingkaran dasarnya

L: x² + y² + z² + 2x + 14y + 4z = 0, –x + y + 1 = 0

2. Bola-bola yang titik pusatnya terletak pada bidang V: x + 2y + 4z + 3 = 0, yang membagi dua sama besar sebuah bola dengan titik pusat (0, 1, –2) dan jari-jari 1 serta memotong tegak lurus bola dengan titik pusat (2, 0, 1) dan jari-jari 1 membentuk sebuah berkas. Tentukanlah lingkaran dasar dari berkas tersebut.

• Ambil sebarang bola S₁: x² + y² + z² + A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0

• S₁ berpusat di M₁(–½A₁, –½B₁, –½C₁) yang terletak di bidang V, sehingga berlaku

–½A₁ – B₁ – 2C₁ + 3 = 0, kalikan –2

A₁ + 2B₁ + 4C₁ = 6 (i)

• S₁ membagi dua sama besar sebuah bola dengan titik pusat (0, 1, –2) dan jari-jari 1, sehingga berlaku

Kuadrat jarak kedua pusat sama dengan selisih kuadrat jari-jari

(½A₁)² + (1 + ½B₁)² + (–2 + ½C₁)² = ¼A₁² + ¼B₁² + ¼C₁² – D₁ – 1

¼A₁² + ¼B₁² + ¼C₁² + B₁ – 2C₁ + 1 + 4 = ¼A₁² + ¼B₁² + ¼C₁² – D₁ – 1

B₁ – 2C₁ + D₁ = –6 (ii)

• S₁ memotong tegak lurus bola dengan titik pusat (2, 0, 1) dan jari-jari 1, sehingga berlaku

Kuadrat jarak kedua pusat sama dengan jumlah kuadrat jari-jari

(2 + ½A₁)² + (½B₁)² + (1 + ½C₁)² = ¼A₁² + ¼B₁² + ¼C₁² – D₁ + 1

¼A₁² + ¼B₁² + ¼C₁² + 2A₁ + C₁ + 4 + 1 = ¼A₁² + ¼B₁² + ¼C₁² – D₁ + 1

2A₁ + C₁ + D₁ = –4 (iii)

(iii) – (ii) → 2A₁ – B₁ + 3C₁ = 2 (iv)

4(iv) – 3(i) → 5A₁ – 10B₁ = –10, bagi 5

A₁ – 2B₁ = –2

Misal B₁ = t, A₁ = –2 + 2t, masukkan ke (i)

–2 + 2t + 2t + 4C₁ = 6

4C₁ = 8 – 4t, bagi 4

C₁ = 2 – t, masukkan ke (ii)

t – 2(2 – t) + D₁ = –6

–4 + 3t + D₁ = –6

D₁ = –2 – 3t

Masukkan semuanya ke persamaan S₁ menjadi

S₁: x² + y² + z² + (–2 + 2t)x + ty + (2 – t)z – 2 – 3t = 0

S₁: x² + y² + z² – 2x + 2z – 2 + t(2x + y – z – 3) = 0

Anggap t sebagai parameter, bola x² + y² + z² – 2x + 2z – 2 = 0 dan bidang 2x + y – z – 3 membentuk berkas, dengan lingkaran perpotongan keduanya merupakan lingkaran dasar dari berkas.

3. Di bidang V: x – y + 2z = 5 terdapat sebuah lingkaran L₁ dengan titik pusat P(2, –1, 1) dan jari-jari 2. Tentukanlah persamaan, koordinat titik pusat, dan jari-jari bola terbesar yang melalui lingkaran L₁ dan menyinggung bidang W: x + 2y + 2z = 20.

• Misal persamaan bola S: x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D = 0, berpusat di M(–½A, –½B, –½C), kuadrat jari-jarinya ¼A² + ¼B² + ¼C² – D.

• S melalui L₁ yang terletak di V dan berpusat di P, sehingga MP tegaklurus V

MP = (2 + ½A, –1 + ½B, 1 + ½C)

MP tegaklurus V, sehingga bilangan arahnya sebanding

2 + ½A = –(–1 + ½B) = (1 + ½C)/2

• Untuk 2 + ½A = –(–1 + ½B)

½A + ½B = –1, kalikan 2

A + B = –2 ↔ B = –2 – A (i)

• Untuk 2 + ½A = (1 + ½C)/2

4 + A = 1 + ½C

A – ½C = –3, kalikan 2

2A – C = –6 ↔ C = 2A + 6 (ii)

• L₁ berjari-jari 2, kuadrat jari-jari bola sama dengan jumlah kuadrat jari-jari lingkaran dan jarak MP.

¼A² + ¼B² + ¼C² – D = 4 + (2 + ½A)² + (–1 + ½B)² + (1 + ½C)²

¼A² + ¼B² + ¼C² – D = 4 + ¼A² + ¼B² + ¼C² + 2A – B + C + 4 + 1 + 1

2A – B + C + D = – 10 (iii)

Masukkan (i) dan (ii) ke (iii)

2A – (–2 – A) + (2A + 6) + D = –10

5A + D = –18 ↔ D = –18 – 5A (iv)

• S menyinggung W, sehingga jarak M ke W sama dengan jari-jari S

Kuadratkan kedua ruas, menjadi kuadrat jarak M ke W sama dengan kuadrat jari-jari S

[–½A + 2(–½B) + 2(–½C) – 20]²/(1² + 2² + 2²) = ¼A² + ¼B² + ¼C² – D

(–½A – B – C – 20)²/9 = ¼A² + ¼B² + ¼C² – D, kalikan masing-masing ruas dengan 4

(A + 2B + 2C + 40)² = A² + B² + C² – 4D

Masukkan (i), (ii), (iv) kesini

[A + 2(–2 – A) + 2(2A + 6) + 40]²/9 = A² + (–2 – A)² + (2A + 6)² – 4(–18 – 5A)

(3A + 48)²/9 = A² + A² + 4A + 4 + 4A² + 24A + 36 + 72 + 20A

(A + 16)² = 6A² + 48A + 112

A² + 32A + 256 = 6A² + 48A + 112

5A² + 16A – 144 = 0

(5A + 36)(A – 4) = 0

A = –36/5 ∨ A = 4

• Untuk A = –36/5:

r² = ¼A² + ¼B² + ¼C² – D

= ¼(–36/5)² + ¼(–2 + 36/5)² + ¼(2(–36/5) + 6)² + 18 + 5(–36/5)

= 324/25 + 169/25 + 441/25 + 18 – 36

= 484/25 = 19,36

Sehingga r = 4,4

• Untuk A = 4:

r² = ¼A² + ¼B² + ¼C² – D

= ¼.4² + ¼(–2 + 4)² + ¼(2.4 + 6)² + 18 + 5.4

= 4 + 1 + 49 + 18 + 20

= 92

Sehingga r = sqrt(92) = 9,59

Jari-jari terbesar bola yang memenuhi adalah sqrt(92) = 9,59 satuan.

4. Sebuah bidang yang berubah-ubah sejajar dengan bidang XOY memotong garis lurus x = z, y = z + 2 di M dan garis lurus x = –3y = 2z di N. Buktikan bahwa bola-bola yang dilukiskan pada MN sebagai garis tengahnya membentuk sebuah berkas, dan tentukan bidang, titik pusat, dan jari-jari lingkaran alas berkas tersebut.

• Bidang V sejajar dengan bidang XOY, sehingga persamaannya adalah z = k

• V memotong garis x = z, y = z + 2 di M, sehingga koordinat titik M(k, k + 2, k)

• V memotong garis x = –3y = 2z di N, sehingga koordinat titik N(2k, –⅔k, k)

• MN merupakan garis tengah bola S, sehingga titik tengah segmen MN merupakan pusat bola S

Misal pertengahan MN adalah P, koordinat titik P adalah P((3/2)k, ⅙k + 1, k)

Tentunya titik P((3/2)k, ⅙k + 1, k) merupakan pusat bola, sedangkan jari-jari bola setengah jarak |MN|

• Persamaan bola S: (x – (3/2)k)² + (y – ⅙k – 1)² + (z – k)² = ¼[k² + ((–5/3)k – 2)² + 0²]

S: x² + y² + z² – 2y + 1 + k[–3x + (9/4)k – ⅓y – ⅓ + (1/36)k – 2z + k] = ¼[k² + (25/9)k² + (10/3)k + 4]

S: x² + y² + z² – 2y + 1 + k[–3x – ⅓y – ⅓ – 2z + (118/36)k] = ¼[(34/9)k² + (10/3)k + 4]

S: x² + y² + z² – 2y + 1 + k[–3x – ⅓y – ⅓ – 2z + (118/36)k] = (17/18)k² + (5/6)k + 1

S: x² + y² + z² – 2y + k[–3x – ⅓y – ⅓ – 2z + (118/36)k] = k[(17/18)k + 5/6]

S: x² + y² + z² – 2y + k[–3x – (7/6)y – ⅓ – 2z + (84/36)k] = 0

S: x² + y² + z² – 2y + k[–3x – (7/6)y – ⅓ – 2z + (7/3)k] = 0