Diferensial dan Aproksimasi

Apabila y = f(x) mempunyai turunan maka turunannya diberikan oleh:

Artinya, untuk Δx mendekati 0, tetapi tidak sama dengan 0, maka berlaku pendekatan:

Δy ≈ f'(x).Δx asalkan Δx ≈ 0, Δx ≠ 0, dan f'(x).Δx dinamakan diferensial y

Karena dy = f'(x).dx diperoleh hubungan antara diferensial dan turunan, yaitu hasil bagi diferensial y oleh diferensial x sama dengan turunan y terhadap x.

Garis singgung kurva y = f(x) di titik A merupakan pendekatan linear fungsi f di sekitar A.
Misalkan A(x₀, y₀). Karena dy = f'(x₀)dx = f'(x₀)(x - x₀) maka:

Δy ≈ dy ⇔ f(x) - f(x₀) ≈ f'(x₀)(x - x₀)

⇔ f(x) ≈ f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀)

y = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀) merupakan pendekatan linear f di sekitar A.

Contoh soal dan pembahasan

1. Tentukan pendekatan linear untuk f(x) = x² – 3x + 2, x₀ = 4

f'(x) = 2x – 3

f(x) ≈ f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀)

f(x) ≈ 4² – 3.4 + 2 + (2.4 – 3).(x – 4)

f(x) ≈ 6 + 5.(x – 4)

f(x) ≈ 6 + 5x – 20

f(x) ≈ 5x – 14

Jadi, pendekatan linear untuk f(x) = x² – 3x + 2 di sekitar x₀ = 4 adalah 5x – 14

2. Tentukan nilai pendekatan untuk (45,023)⁴

f(x) = x⁴,  f’(x) = 4x³, ambil x₀ = 45; x = 45,023

(45,023)⁴ ≈ 45⁴ + 4 . 45³ . (45 - 45,023)

= 4100625 + 364500 . (0,023)

= 4109008,5

Jadi, nilai pendekatan untuk (45,023)⁴ adalah 4109008,5

nilai ini tidak terlalu jauh dari (45,023)⁴, yaitu sekitar 4109014,9

3. Suatu balon berbentuk bola dengan jari-jari 30 cm ditiup hingga jari-jarinya menjadi 30,001 cm. Tentukan nilai pendekatan perubahan volume balon tersebut!.

Diketahui r = 30 cm dan r + dr = 30,001 cm sehingga diperoleh:

dr = 30,001 - 30 = 0,001 cm

Rumus volume bola adalah V = (4/3).π.r³

dV = 4π.r² dr

dV = 4π. 30² . (0,001) ≈ 11,3097 cm³

Jadi, volumenya bertambah sekitar 11,3097 cm³, nilai ini tidak terlalu jauh dari pertambahan volume yang sebenarnya (sekitar 11,3101 cm³)