Ekstrem (Maksimum dan Minimum)

Diberikan fungsi f terdefinisikan pada suatu interval I,

(i) Fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di u ∈ I jika f(u) ≥ f(x) untuk setiap x ∈ I.

(∀x ∈ I)(∃u ∈ I) ∋ f(u) ≥ f(x)

(ii) Fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di v ∈ I jika f(v) ≤ f(x) untuk setiap x ∈ I.

(∀x ∈ I)(∃v ∈ I) ∋ f(v) ≤ f(x)

Titik (u, f(u)) disebut titik maksimum mutlak dan titik (v, f(v)) disebut titik minimum mutlak.

Fungsi yang akan dicari nilai ekstrem nya (maksimum dan minimum) disebut fungsi objektif.

Fungsi f terdefinisikan pada [a, b] dan untuk setiap x ∈ [a, b] berlaku f(v) ≤ f(x) ≤ f(u). Jadi, f mencapai maksimum mutlak di u dan mencapai minimum mutlak di v.

Selain maksimum/minimum mutlak, ada maksimum/minimum relatif, lihat grafik fungsi f pada interval [a, b] yang digambarkan sebagai berikut:

Jelas bahwa f(u) dan f(v) masing-masing bukanlah nilai terbesar dan terkecil f pada keseluruhan interval [a, b]. Akan tetapi pada interval (a, x₁), f(u) merupakan nilai terbesar, pada interval ini f(u) disebut nilai maksimum relatif (atau maksimum lokal). Begitu juga pada interval (x₂, x₃), f(v) merupakan nilai terkecil, pada interval ini f(v) disebut nilai minimum relatif (atau minimum lokal).

Diberikan fungsi f terdefinisikan pada suatu interval I

(i) Fungsi f dikatakan mencapai maksimum relatif di u ∈ I jika ada interval terbuka (a, b) ⊂ I sehingga u ∈ (a, b) dan f(u) ≥ f(x) untuk setiap x ∈ (a, b).

(∃(a, b) ⊂ I) ∋ (∀x ∈ (a, b))(∃u ∈ (a, b)) . f(u) ≥ f(x)

(ii) Fungsi f dikatakan mencapai minimum relatif di v ∈ I jika ada interval terbuka (a, b) ⊂ I sehingga v ∈ (a, b) dan f(v) ≤ f(x) untuk setiap x ∈ (a, b).

(∃(a, b) ⊂ I) ∋ (∀x ∈ (a, b))(∃v ∈ (a, b)) . f(v) ≤ f(x)

Titik (u, f(u)) disebut titik maksimum relatif dan titik (v, f(v)) disebut titik minimum relatif.

Titik maksimum/minimum mutlak (global) juga merupakan titik maksimum/minimum relatif (lokal), dan belum tentu sebaliknya. Titik maksimum/minimum lokal disebut titik ekstrem.

Fungsi f:[a, b] → R dikatakan terbatas pada [a, b] jika terdapat bilangan real m dan M sehingga untuk setiap x ∈ [a, b] berlaku m ≤ f(x) ≤ M. Pada rentang ini, M disebut supremum (batas atas) dan m disebut infimum (batas bawah) nilai f pada interval [a, b].

(∃m,M) ∋ (∀x ∈ [a, b]) . m ≤ f(x) ≤ M

M = sup {f(x) : x ∈ [a, b]}

m = inf {f(x) : x ∈ [a, b]}

Oleh karena itu, jika fungsi f kontinu pada interval tertutup [a, b] maka f terbatas pada [a, b]. Akan didapati c₁, c₂ ∈ [a, b] sehingga f(c₂) ≤ f(x) ≤ f(c₁) untuk setiap x ∈ [a, b]

(∃c₁, c₂ ∈ [a, b]) ∋ (∀x ∈ [a, b]) . f(c₂) ≤ f(x) ≤ f(c₁)

Perlu diketahui bahwa hal ini tidak berlaku pada interval terbuka. Untuk interval terbuka belum tentu terdapat nilai maksimum dan nilai minimum.

Teorema keberadaan nilai ekstrem: Jika fungsi f mencapai nilai maksimum/minimum lokal di x = c, maka f'(c) = 0 atau f'(c) tidak ada.

Mengapa demikian? Untuk f'(c) = 0 berarti gradien garis singgungnya 0 sehingga garis singgungnya mendatar. Hal ini (garis singgung mendatar) tidak mungkin terjadi pada selain titik ekstrem, karena jika suatu titik bukan titik ekstrem pasti garis singgungnya tidak mendatar.

Adapun untuk f'(c) tidak ada, berarti terdapat perbedaan hasil limit kanan dan limit kiri pada rumus turunannya sehingga nilai pendekatan gradien garis singgung dari arah kanan dan kiri berbeda. Hal ini (perbedaan gradien garis singgung dari kedua arah) terjadi pada pojok tajam atau grafik lompat.

Konvers (kebalikan) dari teorema ini belum tentu berlaku. Artinya meskipun f'(c) = 0 atau tidak ada maka tidak ada jaminan bahwa f(c) merupakan nilai ekstrem lokal f. Pada interval yang sama, terkadang ada lebih dari satu titik dengan turunan 0 atau tidak ada. Titik (c, f(c)) sehingga f'(c) = 0 atau tidak ada disebut titik kritis.

Fungsi f mungkin mempunyai maksimum mutlak dan minimum mutlak, keduanya, salah satu, atau tidak punya samasekali. Oleh karena itu berlaku sifat berikut:

Jika fungsi f kontinu pada interval tertutup [a, b] maka nilai maksimum mutlak f dan nilai minimum mutlak f masing-masing adalah nilai terbesar dan nilai terkecil dari f(a), f(b), atau f(c) untuk sebarang titik kritis c ∈ [a, b].

Tempat-tempat dimana suatu fungsi mungkin mencapai nilai maksimum dan minimum adalah pada kedua ujung interval, turunannya 0, pojok tajam, atau grafik lompat. Pada pojok tajam turunan tidak ada karena gradien garis singgung dari kanan dan kiri berbeda, sedangkan pada grafik lompat turunan tidak ada karena grafiknya tidak kontinu. Titik dimana turunannya bernilai 0 dinamakan titik stasioner, sedangkan titik dimana fungsinya tidak dapat diturunkan dinamakan titik singular.

Contoh soal dan pembahasan

Tentukan nilai maksimum dan minimum mutlak f(x) = x³ + 6x² – 15x + 10 pada interval 0 ≤ x ≤ 3

f'(x) = 3x² + 12x – 15, dapat difaktorkan menjadi 3(x – 1)(x + 5)

f'(x) = 0 pada x = -5 (TM) atau x = 1

Untuk mengeceknya hitung f(0) dan f(3) sebagai ujung interval dan hitung f(1) sebagai titik kritis

f(0) = 0³ + 6.0² – 15.0 + 10 = 10

f(1) = 1³ + 6.1² – 15.1 + 10 = 2

f(3) = 3³ + 6.3² – 15.3 + 10 = 46

Jadi, nilai maksimum mutlak f(x) = x³ + 6x² – 15x + 10 pada interval 0 ≤ x ≤ 3 adalah 46 dan nilai minimum mutlak nya adalah 2.