Fungsi Kontinu

1. Kekontinuan Fungsi

Fungsi kontinu adalah fungsi yang nilai fungsi dan nilai limitnya terdefinisi dan sama. Berikut syarat fungsi f kontinu di a:

(i) f(a) ada (terdefinisikan)

(ii) limitnya ada (nilai limit kedua sisi sama)

(iii) nilai limit sama dengan nilai fungsi

Fungsi f yang tidak kontinu di a dikatakan diskontinu. Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada interval I jika f kontinu di setiap titik anggota I. Secara grafik, fungsi kontinu grafiknya bersambung, tidak terpotong di titik (a, f(a)). Sedangkan fungsi diskontinu grafiknya tidak bersambung (atau terpotong), berikut contoh grafik yang terdapat titik diskontinu:

Pada x₂, x₃, x₄ fungsi f tidak kontinu karena pada x₂ limit kanannya tidak sama dengan nilai fungsi, pada x₃ nilai limitnya ada akan tetapi tidak sama dengan nilai fungsi, pada x₄ nilai fungsi tidak terdefinisi.

2. Sifat Operasi Fungsi Kontinu

Jika fungsi f dan g kontinu di a, dan k sebarang konstanta real, maka f+g, f-g, kf, dan fg kontinu di a. Begitu juga f/g kontinu di a asalkan g(a) ≠ 0, fⁿ juga kontinu.

Adapun f^1/n kontinu asalkan f(c) > 0 jika n genap

3. Kontinu satu sisi

Fungsi f dikatakan kontinu kiri di a jika limit kiri nya sama dengan f(a). Fungsi f dikatakan kontinu kanan di a jika limit kanan nya sama dengan f(a).

Fungsi f kontinu pada suatu interval terbuka (a, b) jika dan hanya jika fungsi f kontinu di setiap titik pada interval tersebut. Sedangkan untuk interval tertutup, fungsi f kontinu pada suatu interval tertutup [a, b] jika dan hanya jika f kontinu pada interval terbuka (a, b), kontinu kanan pada a, dan kontinu kiri pada b.

contoh kontinu satu sisi:

4. Kekontinuan fungsi berdomain tunggal

Fungsi polinomial, fungsi rasional, fungsi akar, fungsi eksponen, fungsi logaritma, dan fungsi trigonometri kontinu pada domainnya masing-masing.

Teorema kekontinuan domain fungsi: Fungsi polinomial kontinu di setiap bilangan real, fungsi rasional kontinu di setiap bilangan real kecuali jika penyebutnya nol, fungsi nilai mutlak kontinu di setiap bilangan real.

Fungsi akar ke-n kontinu di setiap bilangan real untuk n ganjil, dan kontinu di setiap bilangan real positif untuk n genap.

5. Kekontinuan fungsi komposisi

Jika f kontinu di b dan limit x mendekati a g(x) = b, maka limit x mendekati a f(g(x)) = f(b). Disimbolkan sebagai berikut:

Contoh soal dan pembahasan

Diberikan:

Tentukan nilai a dan b agar f(x) kontinu pada x = 2!

Syarat agar fungsi f kontinu pada x = 2 adalah:

(i) Nilai f(2) terdefinisi

f(2) = 2² – 3.2 + 5 = 3

(ii) Nilai limit ada

Untuk limit kanan sama dengan f(2), yaitu 3. Agar kontinu diharuskan limit kiri = 3

Pemindahan ruas:

Pembagian sintesis:

2	a	0	0	b
		2a	4a	8a
	a	2a	4a	8a+b

F(x) = P(x).H(x) + S(x)

ax³ + b = (x - 2).(ax² + 2ax + 4a) + (8a + b)

Mencari a:

ax² + 2ax + 4a = 12

a2² + 2.a.2 + 4a = 12

4a + 4a + 4a = 12

12a = 12

a = 12/12 = 1

Agar dapat dicoret diharuskan 8a + b = 0

8a + b = 0

8.1 + b = 0

b = -8

Jadi, a = 1 dan b = -8

HP{a, b} = {1, -8}