Fungsi

Relasi adalah hubungan antara dua himpunan. Secara umum, relasi dari himpunan A ke B didefinisikan sebagai himpunan tak kosong R ⊆ A × B. Lihat contoh gambar:

Jika R adalah relasi dari A ke B dan x ∈ A berelasi R dengan y ∈ B maka ditulis:

(a, b) ∈ R atau aRb atau b = R(a)

Di dalam himpunan relasi ada himpunan fungsi. Fungsi adalah relasi yang untuk setiap x ∈ A berelasi R dengan tepat satu y ∈ B, inilah fungsi dari A ke B. Definisi fungsi dinotasikan sebagai:

"(∀x ∈ A)(∃!y ∈ B) ∋ f(x) = y"

Suatu relasi dari A ke B disebut fungsi dengan dua syarat, yaitu setiap anggota A memiliki pasangan di B dan pasangannya tepat satu tidak lebih. Apabila f merupakan fungsi dari himpunan A ke himpunan B ditulis f:A → B. Dalam hal ini himpunan A dinamakan domain atau daerah definisi atau daerah asal, sedangkan himpunan B dinamakan kodomain atau daerah kawan atau daerah tujuan fungsi f. Domain dari fungsi f dituliskan:

D_f = {x ∈ R : f(x) terdefinisikan}

Ilustrasi fungsi dan bukan fungsi:

Himpunan semua anggota B yang memiliki pasangan di A dinamakan range atau daerah hasil fungsi f. Oleh karena itu, range merupakan subset dari kodomain.

Jika pada fungsi f:A → B, sebarang x ∈ A memiliki pasangan y ∈ B, maka dikatakan "y merupakan nilai fungsi f di x", ditulis y = f(x). Selanjutnya, x dinamakan variabel bebas dan y dinamakan variabel terikat. Ketika sebarang nilai di daerah asal di substusi untuk variabel bebas, nilai tersebut akan menentukan nilai untuk variabel terikat. Sedangkan y = f(x) disebut rumus fungsi f.

Misalkan f:A → B dan g:A → B. Fungsi f sama dengan g (ditulis f = g) jika (∀x ∈ A).f(x) = g(x) 

1. Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, Fungsi Bijektif

Diberikan fungsi f:A → B.

(i) Apabila setiap anggota himpunan B memiliki pasangan di himpunan A, maka f disebut fungsi surjektif atau fungsi pada (onto). Contoh pada gambar berikut:

(ii) Apabila tidak ada anggota himpunan B yang memiliki pasangan lebih dari satu di himpunan A, maka f disebut fungsi injektif atau fungsi satu-satu (into). Contoh pada gambar berikut:

(iii) Jika setiap anggota himpunan B memiliki tepat satu pasangan di A maka f disebut fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu. Mudah difahami bahwa fungsi bijektif adalah fungsi surjektif sekaligus injektif. Contoh pada gambar berikut:

2. Operasi Fungsi
Diberikan skalar real a dan fungsi-fungsi f dan g. Operasi fungsi didefinisikan sebagai berikut:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(f - g)(x) = f(x) - g(x)

(a.f)(x) = a.f(x)

(f.g)(x) = f(x).g(x)

(f/g)(x) = f(x)/g(x), dengan g(x) ≠ 0

Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan domain f dan domain g, kecuali untuk f/g ada syarat tambahan yaitu g(x) ≠ 0. Ditulis D_f/g = {x ∈ D_f ∩ D_g : g(x) ≠ 0}

Contoh:

Perpangkatan suatu fungsi

Dalam operasi fungsi, memangkatkan suatu fungsi (yaitu fⁿ) adalah fungsi yang memberikan nilai (f(x))ⁿ pada x. Akan tetapi ada satu pengecualian yaitu jika n = -1. Notasi f^-1 dinyatakan untuk fungsi invers, sehingga jika f^-1 bukan berarti 1/f.

3. Fungsi Invers

Diberikan f:X → Y. Kebalikan (invers) fungsi f adalah relasi f^-1 dari Y ke X (ditulis f^-1:Y → X). Pada umumnya invers dari suatu fungsi belum tentu fungsi, contoh pada gambar berikut:

Apabila f:X → Y merupakan fungsi bijektif, maka mudah ditunjukkan bahwa invers f juga merupakan fungsi. Fungsi ini disebut fungsi invers (dinotasikan f^-1). Perhatikan gambar berikut:

Jadi, x = f^-1(y) ⇔ y = f(x) dengan D_f^-1 = R_f dan R_f^-1 = D_f, dengan kata lain, domain dari fungsi invers adalah range nya.

Contoh:

Contoh invers fungsi pecah domain:

4. Fungsi Komposisi

Diketahui f dan g sebarang dua fungsi. Ambil sebarang x ∈ D_g. Apabila g(x) ∈ D_f maka f dapat dikerjakan pada g(x) dan diperoleh fungsi (f ○ g)(x) = f(g(x)). Ini disebut fungsi komposisi dari f dan g.

Fungsi komposisi dari f dan g ditulis f ○ g didefinisikan sebagai (f ○ g)(x) = f(g(x)) dengan domain:

D_f○g = {x ∈ D_g : g(x) ∈ D_f}. Lihat gambar berikut:

Oleh karena itu, syarat agar f dapat dikomposisikan dengan g adalah harus terdapat x anggota domain g dengan g(x) menjadi anggota domain f, dengan kata lain R_f ∩ D_g ≠ ∅. Perlu diketahui bahwa komposisi fungsi tidak komutatif, (ditulis f ○ g ≠ g ○ f)

Contoh:

Tonton video fungsi dan domainnya: