Grafik Fungsi

Diberikan fungsi f. Himpunan {(x, y): y = f(x), x ∈ D_f} disebut grafik fungsi f.

A. Grafik Fungsi Dalam Sistem Koordinat Kartesius

Dalam sistem koordinat kartesius fungsi dapat dibagi menjadi fungsi aljabar dan fungsi transenden. Fungsi f disebut fungsi aljabar jika f dapat dinyatakan sebagai jumlahan, selisih, hasil kali, hasil bagi, pangkat, ataupun akar fungsi-fungsi suku banyak. Sedangkan fungsi yang bukan fungsi aljabar disebut fungsi transenden, contohnya fungsi trigonometri, fungsi logaritma.

1) Fungsi Aljabar

Fungsi aljabar meliputi fungsi suku banyak, fungsi pecah, fungsi irasional.

(a) Fungsi Suku Banyak (Polinomial)

Fungsi suku banyak berderajat n mempunyai persamaan f(x) = P_n(x) = a₀ + a₁.x + … + a_n.xⁿ dengan n bilangan bulat tak negatif, a₁, …, a_n bilangan-bilangan real dan a_n ≠ 0.

Fungsi konstan umumnya ditulis f(x) = c, grafik fungsi ini berupa garis lurus sejajar sumbu x.

Fungsi linear umumnya ditulis f(x) = mx + n, grafik fungsi ini berupa garis lurus dengan gradien m dan melalui titik (0, n).

Fungsi kuadrat umumnya ditulis f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0, grafik fungsi kuadrat berupa parabola. Diskriminannya adalah D = b² – 4ac. Grafik fungsi kuadrat umumnya dipengaruhi oleh nilai a dan D. Jika a positif maka grafiknya cekung ke atas, dan jika a negatif maka grafiknya cekung ke bawah. Sedangkan nilai D, jika D positif maka grafiknya memotong sumbu x di 2 titik, jika D sama dengan 0 maka grafiknya menyinggung sumbu x di 1 titik, dan jika D negatif maka grafiknya tidak menyentuh sumbu x sama sekali.

dan seterusnya, pangkat yang lebih tinggi.

(b) Fungsi Pecah

Fungsi f(x) yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua fungsi suku banyak, umumnya berbentuk

Contoh untuk fungsi pecah dan grafiknya:

(c) Fungsi Irasional

Fungsi aljabar yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk suku banyak maupun hasil bagi dari dua fungsi suku banyak, umumnya fungsi irasional berbentuk radikal (akar). Contoh grafik fungsi irasional:

2) Fungsi Transenden
Fungsi transenden meliputi fungsi trigonometri, fungsi siklometri, fungsi eksponen, fungsi logaritma.

(a) Fungsi Trigonometri

Misalkan sebarang titik P(x, y) dalam koordinat:

Apabila r menyatakan jarak titik P ke O dan θ menyatakan besar sudut antara OP dengan sumbu X (berlawanan arah jarum jam), maka didefinisikan:

sin θ = y/r    csc θ = r/y

cos θ = x/r    sec θ = r/x

tan θ = y/x    cot θ = x/y

Dari definisi, kita memperoleh hubungan perbandingan:

csc θ = 1/sin θ,    sec θ = 1/cos θ,    cot θ = 1/tan θ

tan θ = sin θ / cos θ,    cot θ = cos θ / sin θ

dan hubungan pythagoras:

sin²θ + cos²θ = 1,          1 + tan²θ = sec²θ,          1 + cot²θ = csc²θ

Domain fungsi trigonometri:

Domain sin θ dan cos θ = R

Domain tan θ dan sec θ = {x| x ≠ (2k + 1).π/2, dengan k bilangan bulat}

Domain cot θ dan csc θ = {x| x ≠ kπ, dengan k bilangan bulat}

Range fungsi trigonometri:

Range sin θ dan cos θ = {x| -1 ≤ x ≤ 1}

Range tan θ dan cot θ = R

Range sec θ dan csc θ = {x| x ≤ 1 ∨ x ≥ 1}

Biasanya dalam geometri besar sudut diukur dalam derajat, sedangkan dalam kalkulus besar sudut dinyatakan dalam radian. Besar sudut 1 radian adalah besar sudut pusat juring lingkaran yang panjang busurnya sama dengan jari-jari lingkaran.

2π radian = 360° atau 1 radian = 180°/π ≈ 57,29578°
Contoh grafik fungsi trigonometri untuk y = sin x

(b) Fungsi Siklometri
Fungsi siklometri adalah invers dari fungsi trigonometri (untuk domain tertentu), didefinisikan:

y = sin^-1 x = arcsin x ⇔ x = sin y,           y ∈ [-π/2, π/2]

y = cos^-1 x = arccos x ⇔ x = cos y,         y ∈ [0, π]

y = tan^-1 x = arctan x ⇔ x = tan y,          y ∈ (-π/2, π/2)

y = cot^-1 x = arccot x ⇔ x = cot y,          y ∈ (0, π)

y = sec^-1 x = arcsec x ⇔ x = sec y,         y ∈ (-π/2, π/2)

y = csc^-1 x = arccsc x ⇔ x = csc y,         y ∈ (0, π)

contoh grafik untuk y = arctan x:

(c) Fungsi Eksponensial
Untuk a > 0, a ≠ 1, fungsi f dengan rumus f(x) = a^x disebut fungsi eksponesial. Contoh grafik untuk fungsi eksponensial:

(d) Fungsi Logaritma (Invers dari eksponensial)

Untuk a > 0, a ≠ 1, y = ^alog x ⇔ x = a^y. Fungsi logaritma dapat ditulis y = ^alog x, bisa juga y = log_a x. Contoh: ²log 8 = 3 karena 2³ = 8.

Fungsi f dengan rumus f(x) = ^alog x disebut fungsi logaritma. Dalam hal ini D_f = {x ∈ R : x > 0}. Contoh grafik pada gambar berikut:

3) Mengenali Fungsi dari grafiknya

Karena fungsi mengaitkan setiap anggota daerah asal dengan tepat satu anggota daerah tujuan, kita dapat memeriksa dari suatu grafik apakah fungsi atau bukan. Grafik yang mana terdapat garis vertikal yang memotong kurva di lebih dari satu titik bukanlah fungsi. Pada grafik fungsi tidak ditemukan garis vertikal yang memotong kurva di lebih dari satu titik. Contoh grafik bukan fungsi:

4) Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Fungsi genap adalah fungsi yang berlaku f(-x) = f(x). Sifat grafik dari fungsi genap adalah simetris terhadap sumbu y. Contoh grafik fungsi genap:

Fungsi ganjil adalah fungsi yang berlaku f(-x) = -f(x). Sifat grafik dari fungsi ganjil adalah simetris terhadap titik O. Contoh grafik fungsi ganjil:

5) Transformasi Fungsi

a) Pergeseran, c > 0

y = f(x) + c dengan menggeser y = f(x) sejauh c satuan ke atas

y = f(x) - c dengan menggeser y = f(x) sejauh c satuan ke bawah

y = f(x - c) dengan menggeser y = f(x) sejauh c satuan ke kanan

y = f(x + c) dengan menggeser y = f(x) sejauh c satuan ke kiri

b) Peregangan dan pemampatan, c > 1

y = c.f(x) dengan meregangkan y = f(x) secara tegak dengan faktor c

y = (1/c).f(x) dengan memampatkan y = f(x) secara tegak dengan faktor c

y = f(c.x) dengan memampatkan y = f(x) secara mendatar dengan faktor c

y = f(x/c) dengan meregangkan y = f(x) secara mendatar dengan faktor c

c) Pencerminan

y = -f(x) dengan mencerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu x

y = f(-x) dengan mencerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu y

contoh grafik transformasi fungsi:

6) Piecewise Defined Function (Fungsi yang didefinisikan secara terpotong-potong)

Fungsi yang didefinisikan oleh rumus berlainan di bagian berbeda pada daerah asalnya. Contoh grafik:

7) Fungsi Konstan

Fungsi konstan adalah suatu fungsi berbentuk f(x) = k dengan k konstanta real. Grafik dari fungsi konstan adalah garis mendatar. Contoh:

8) Fungsi Identitas

Fungsi identitas adalah suatu fungsi berbentuk f(x) = x.

9) Fungsi Periodik

Fungsi f disebut periodik jika terdapat suatu bilangan p sedemikian sehingga f(x + p) = f(x) untuk semua x dalam domain f. Bilangan positif terkecil p disebut periode.

Contoh fungsi yang bersifat periodik adalah fungsi trigonometri.

Periode sin θ, cos θ, sec θ, dan csc θ adalah 2π, sedangkan periode tan θ dan cot θ adalah π.

Pada fungsi periodik yang memiliki nilai maksimum dan nilai minimum terdapat amplitudo. Amplitudo adalah setengah jarak antara nilai maksimum dan nilai minimum.

Amplitudo sin θ dan cos θ adalah 1, dimana nilai maksimum adalah 1 dan nilai minimum adalah -1.

Perlu diketahui bahwa transformasi fungsi mempengaruhi properti fungsi periodik.

B. Grafik Fungsi Dalam Sistem Koordinat Kutub

Dalam sistem koordinat kutub, koordinat suatu titik dapat diekspresikan dengan banyak cara. Oleh karena itu, penggambaran grafik fungsi dalam koordinat kutub diperlukan kehati-hatian lebih dibandingkan koordinat kartesius.

Grafik fungsi yang disajikan dalam sistem koordinat kutub r = f(θ) adalah himpunan semua titik P sehingga paling sedikit satu representasi titik P yaitu (r, θ) memenuhi persamaan tersebut.

Contoh untuk r = 2 + 2.sin θ