Irisan Kerucut (Fungsi)

Diketahui suatu kerucut tegak dengan setengah sudut pusat α dan titik puncak P. Apabila kerucut tersebut diiris dengan bidang W tanpa melalui P dan membentuk sudut β terhadap sumbu kerucut maka irisannya berbentuk suatu kurva, yang disebut irisan kerucut. Bentuk irisan kerucut tergantung besar sudut β. Apabila:

(1) β tegak lurus dengan sumbu kerucut, maka irisannya berupa lingkaran

(2) β > α, maka irisannya berupa elips

(3) β = α, maka irisannya berupa parabola

(4) 0 ≤ β < α, maka irisannya berupa hiperbola

Irisan kerucut juga dapat didefinisikan sebagai himpunan semua titik yang perbandingan jaraknya ke suatu titik tertentu (titik fokus) dan ke suatu garis tertentu (garis arah) tetap. Titik fokus dinyatakan dengan F, garis arah dinyatakan dengan d, dan perbandingan yang tetap disebut eksentrisitas yang ditulis ε. Berdasarkan eksentrisitasnya, irisan kerucut berbentuk:

(a) Kelas lingkaran, ε = 0

(b) Kelas elips, 0 < ε < 1

(c) Kelas parabola, ε = 1

(d) Kelas hiperbola, ε > 1

Diambil fokus F berhimpit dengan O, dan garis arah d dengan persamaan x + p = 0, dengan p > 0

Jika P(x, y) sebarang titik pada irisan kerucut maka perbandingan jarak P ke F dan P ke d adalah ε, ditulis ε = |PF| / |Pd|. Jika dikuadratkan kedua ruas menjadi

ε² = (x² + y²) / (x + p)²

ε².(x + p)² = (x² + y²)

ε²x² + ε²p² + 2ε²px = x² + y², kurangi masing-masing ruas dengan ε²x²

ε²p² + 2ε²px = x² + y² - ε²x², faktorkan

(1 - ε²)x² + y² = 2ε²px + ε²p² 

(i) Untuk ε = 1 diperoleh parabola

y² = 2px + p² = 2p.(x + p/2)

Jika diambil substitusi x* = x + p/2 maka persamaan parabola menjadi y² = 2px*. Titik fokus dari persamaan ini adalah F(p/2, 0), garis arah d: x + p/2 = 0, titik puncak O(0,0), sumbu simetri sumbu x.

(ii) Untuk ε ≠ 1 diperoleh persamaan:

Ambil substitusi x** = x - (ε²p²) / (1 - ε²) diperoleh:

(a) Untuk 0 ≤ ε < 1 diambil c² = (ε²p²) / (1 - ε²) dan a² = (ε²p²) / (1 - ε²)², maka diperoleh:

(x**)²/a² + y²/b² = 1

Karena (ε²p²) / (1 - ε²) = (1 - ε²).a² = b², dan ε = c/a, maka c² + b² = a². Secara umum, persamaan elips dengan pusat O(0, 0), sumbu simetri sumbu x dan sumbu y, fokus F(±c, 0), garis arah d: x = ±a/c diberikan oleh x²/a² + y²/b² = 1

Sedangkan untuk ε = 0 (lingkaran) mempunyai persamaan x² + y² = a². Ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat O dan berjari-jari a. Jadi, titik fokus dan titik pusat lingkaran ini adalah O.

(b) Untuk ε > 1 diambil a² = (ε²p²) / (1 - ε²)², c² = (ε²p²) / (1 - ε²), (1 - ε²).a² = b², maka diperoleh:

a² + b² = c² dan ε = c/a, diperoleh:

(x**)²/a² - y²/b² = 1. Jadi, persamaan hiperbola dengan pusat O(0, 0), sumbu simetris sumbu x dan sumbu y, titik fokus F(±c, 0), dan garis arah d: x = ±a/c diberikan oleh x²/a² - y²/b² = 1