Kecekungan atau Kecembungan Fungsi

Perhatikan contoh grafik berikut:

Ada 2 grafik, 1 di kanan dan 1 di kiri. Grafik yang di sebelah kiri terlihat membuka ke atas (disebut cekung ke atas atau cembung ke bawah), sedangkan di sebelah kanan terlihat membuka ke bawah (disebut cekung ke bawah atau cembung ke atas)

Diketahui fungsi f kontinu pada interval tertutup [a, b] dan diferensiabel pada interval terbuka (a, b)

(i) Fungsi f dikatakan cekung ke bawah pada [a, b] jika grafik kurva f pada (a, b) berada dibawah sebarang garis singgungnya

(ii) Fungsi f dikatakan cekung ke atas pada [a, b] jika grafik kurva f pada (a, b) berada diatas sebarang garis singgungnya

Gambarannya sebagai berikut:

Diketahui fungsi f kontinu pada interval tertutup [a, b] dan diferensiabel pada interval terbuka (a, b), berikut penentuan kecekungan fungsi f:

(i) Jika f''(x) < 0 untuk setiap x ∈ (a, b) maka f cekung ke bawah pada [a, b]

(ii) Jika f''(x) > 0 untuk setiap x ∈ (a, b) maka f cekung ke atas pada [a, b]

Bukti:

(i) Ambil sebarang x₀ ∈ (a, b), persamaan garis singgung di titik (x₀, f(x₀)) adalah:

y = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀)

Akan ditunjukkan bahwa f(x) ≤ f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀) untuk setiap x ∈ (a, b)

Untuk x = x₀ jelas benar bahwa f(x) ≤ f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀). Adapun untuk x ≠ x₀ menurut teorema nilai rata-rata terdapat x₁ ∈ (x, x₀) sehingga f'(x₁) = (f(x) - f(x₀))/(x - x₀) ⇔ f(x) = f(x₀) + f'(x₁)(x - x₀)

(a) Untuk x₀ < x₁ < x karena f'' < 0 pada (a, b) maka f' turun pada (a, b) sehingga f'(x₁) ≤ f'(x₀). Oleh karena itu, f(x) = f(x₀) + f'(x₁)(x - x₀) ≤ f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀). Hal ini berarti grafik f berada di bawah garis singgung kurva di titik (x₀, f(x₀)).

(b) Untuk x < x₁ < x₀ karena f'' < 0 pada (a, b) maka f' turun pada (a, b) sehingga f'(x₁) ≥ f'(x₀). Oleh karena itu, f(x) = f(x₀) + f'(x₁)(x - x₀) ≤ f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀). Ingat! karena x < x₀ maka x - x₀ negatif sehingga f'(x₁) ≥ f'(x₀) mengakibatkan f'(x₁)(x - x₀) ≤ f'(x₀)(x - x₀). Hal ini berarti grafik f berada di bawah garis singgung kurva di titik (x₀, f(x₀)).

(ii) Ambil sebarang x₀ ∈ (a, b), persamaan garis singgung di titik (x₀, f(x₀)) adalah:

y = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀)

Akan ditunjukkan bahwa f(x) ≥ f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀) untuk setiap x ∈ (a, b)

Untuk x = x₀ jelas benar bahwa f(x) ≥ f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀). Adapun untuk x ≠ x₀ menurut teorema nilai rata-rata terdapat x₁ ∈ (x, x₀) sehingga f'(x₁) = (f(x) - f(x₀))/(x - x₀) ⇔ f(x) = f(x₀) + f'(x₁)(x - x₀)

(a) Untuk x₀ < x₁ < x karena f'' > 0 pada (a, b) maka f' naik pada (a, b) sehingga f'(x₁) ≥ f'(x₀). Oleh karena itu, f(x) = f(x₀) + f'(x₁)(x - x₀) ≥ f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀). Hal ini berarti grafik f berada di atas garis singgung kurva di titik (x₀, f(x₀)).

(b) Untuk x < x₁ < x₀ karena f'' < 0 pada (a, b) maka f' naik pada (a, b) sehingga f'(x₁) ≤ f'(x₀). Oleh karena itu, f(x) = f(x₀) + f'(x₁)(x - x₀) ≥ f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀). Ingat! karena x < x₀ maka x - x₀ negatif sehingga f'(x₁) ≤ f'(x₀) mengakibatkan f'(x₁)(x - x₀) ≥ f'(x₀)(x - x₀). Hal ini berarti grafik f berada di atas garis singgung kurva di titik (x₀, f(x₀)).

Telah terbukti kedua penentuan kecekungan grafik fungsi f.

Contoh soal dan pembahasan

Diberikan fungsi f(x) = x³ – 6x² + 9x – 5, tentukan kecekungan fungsi f!

f'(x) = 3x² – 12x + 9

f''(x) = 6x – 12 = 6(x – 2)

Fungsi f cekung ke bawah pada x < 2 dan cekung ke atas pada x > 2