Limit Fungsi Trigonometri
Perhatikan gambar berikut:
Gambar diatas adalah potongan lingkaran dengan jari-jari 1 satuan yang berpusat di A(0, 0). Misalkan ditarik garis dari A ke sebarang titik pada lingkaran, misalnya B. Juga ditarik garis dari B sehingga tegak lurus dengan sumbu x, memotong sumbu x di titik E. Sebagaimana dalam koordinat kutub, jarak dari B ke E adalah sin x, dan jarak dari A ke E adalah cos x.
Tarik garis tegak lurus dengan sumbu x dari titik D, perpanjang segmen garis AB, keduanya berpotongan di F. Perhatikan segitiga AEB dan ADF keduanya sebangun, oleh karena itu panjang FD adalah tan x. Mari kita bandingkan luas segitiga ADB, juring ADB, dan segitiga ADF:
L segitiga ADB ≤ L juring ADB ≤ L segitiga ADF
1/2 . 1 . sin x ≤ x/2π . π . 12 ≤ 1/2 . 1 . tan x
1/2 sin x ≤ 1/2 x ≤ 1/2 tan x, kalikan masing-masing ruas dengan 2:
sin x ≤ x ≤ tan x, bagi masing-masing ruas dengan sin x:
1 ≤ x/sin x ≤ 1/cos x
Untuk x negatif berlaku:
tan x ≤ x ≤ sin x, bagi masing-masing ruas dengan sin x:
1 ≤ x/sin x ≤ 1/cos x
Kita mendapati bahwa 1 ≤ x/sin x ≤ 1/cos x berlaku untuk x positif maupun negatif, dengan menggunakan teorema apit, kita dapat menghitung limit untuk x mendekati 0:
Komentar
Posting Komentar