Limit Satu Sisi

Misalkan ada fungsi f(x) = √x, nilai f(x) terdefinisi untuk x ≥ 0, dan tidak terdefinisi untuk x < 0, sehingga nilai limit f(x) tidak ada untuk x = 0 karena nilai fungsinya tidak terdefinisi untuk x < 0. Akan tetapi untuk x > 0 nilai limit f(x) pada x = 0 adalah f(0) = 0. Hal ini membawa kita kepada:

(i) Misalkan f(x) terdefinisikan pada suatu interval (c, c + δ). Apabila untuk x ∈ (c, c + δ), semakin x mendekati c maka nilai f(x) mendekati L, maka L merupakan limit kanan f(x) untuk x mendekati c.

Definisi limit kanan: (∀ε > 0)(∃δ > 0) ∋ (∀x ∈ D_f). (x ∈ (c, c + δ)) ⇒ |f(x) - L| < ε

bisa juga ditulis: (∀ε > 0)(∃δ > 0) ∋ (∀x ∈ D_f). (c < x < c + δ) ⇒ |f(x) - L| < ε

Penulisan limit kanan untuk x mendekati c adalah x → c⁺, tandanya (+)

(ii) Misalkan f(x) terdefinisikan pada suatu interval (c, c - δ). Apabila untuk x ∈ (c, c - δ), semakin x mendekati c maka nilai f(x) mendekati L, maka L merupakan limit kiri f(x) untuk x mendekati c.

Definisi limit kiri: (∀ε > 0)(∃δ > 0) ∋ (∀x ∈ D_f). (x ∈ (c - δ, c)) ⇒ |f(x) - L| < ε

bisa juga ditulis: (∀ε > 0)(∃δ > 0) ∋ (∀x ∈ D_f). (c - δ < x < c) ⇒ |f(x) - L| < ε

Penulisan limit kanan untuk x mendekati c adalah x → c^-, tandanya (-)

Contoh grafik fungsi untuk limit satu sisi:

contoh limit kanan dan limit kiri beda nilai:

Nilai fungsi floor untuk n adalah bilangan bulat terdekat yang kurang dari atau sama dengan n, sehingga nilai fungsi floor untuk bilangan bulat adalah dirinya sendiri, sedangkan nilai fungsi floor untuk bilangan tidak bulat adalah bilangan bulat terdekat dengan pembulatan ke bawah. Hal ini mengakibatkan limit kanan fungsi floor suatu bilangan bulat adalah dirinya sendiri, sedangkan limit kirinya adalah dirinya sendiri dikurangi 1.

contoh untuk fungsi dengan pecah domain:

untuk fungsi pecah domain, terkadang nilai limit kanan dan limit kiri nya berbeda pada perbatasan domain.

Ketunggalan limit (terkait limit kiri dan limit kanan):

Jadi, nilai limit suatu fungsi ada dengan syarat nilainya tunggal, dengan kata lain limit kiri dan limit kanan bernilai sama. Begitu juga sebaliknya, perbedaan nilai limit kiri dan limit kanan mengakibatkan nilai limit nya tidak ada.

contoh untuk fungsi pecah domain:

Pada kasus ini, limit kiri dan limit kanan f(x) untuk x = 2 bernilai sama, yaitu L = 1.