Limit Tak Hingga dan Limit Menuju Tak Hingga

A. Limit Tak Hingga

Misalkan f(x) = 1/x², beberapa nilai f(x) lihat tabel berikut:

x	f(x) = 1/x2	x	f(x) = 1/x2
1	1	-1	1
0,1	100	-0,1	100
0,01	10000	-0,01	10000
0,001	1000000	-0,001	1000000
0,0001	100000000	-0,0001	100000000

Dari tabel terlihat bahwa semakin x mendekati 0, nilai f(x) semakin besar. Bahkan nilai f(x) akan menjadi besar tak terbatas apabila x mendekati 0. Grafik fungsi f(x) = 1/x² dapat dilihat sebagai berikut:

Dalam hal ini, dikatakan bahwa limit f(x) x mendekati 0 sama dengan tak hingga, ditulis:

Limit Tak Hingga:

(i) Nilai limit suatu fungsi untuk x mendekati c sama dengan tak hingga jika semakin x mendekati c maka f(x) semakin membesar tak terbatas arah positif (∞)

ditulis: (∀M > 0)(∃δ > 0) ∋ (∀x ∈ D_f). 0 < |x - c| < δ → f(x) > M

(ii) Nilai limit suatu fungsi untuk x mendekati c sama dengan negatif tak hingga jika semakin x mendekati c maka f(x) semakin membesar tak terbatas arah negatif (-∞)

ditulis: (∀M > 0)(∃δ > 0) ∋ (∀x ∈ D_f). 0 < |x - c| < δ → f(x) < -M

Teorema limit tak hingga:

Jika k ∈ N maka:

Teorema limit tak hingga untuk fungsi rasional:

Contoh limit satu sisi:

B. Limit Menuju Tak Hingga

Misalkan f(x) = 1/x, bagaimana dengan nilai f(x) apabila x begitu besar? lihat tabel di bawah:

x	f(x) = 1/x	x	f(x) = 1/x
1	1	-1	-1
10	0,1	-10	-0,1
100	0,01	-100	-0,01
1000	0,001	-1000	-0,001
10000	0,0001	-10000	-0,0001

Dari tabel kita mendapati bahwa semakin besar nilai x maka nilai f(x) semakin mendekati 0, baik untuk arah positif maupun arah negatif, dapat ditulis sebagai berikut:

Definisi limit menuju tak hingga:

(i) Nilai limit suatu fungsi untuk x mendekati tak hingga sama dengan L jika semakin besar nilai x (arah positif) maka nilai f(x) semakin mendekati L.

ditulis: (∀ε > 0)(∃M > 0) ∋ (∀x ∈ D_f). x > M → |f(x) - L| < ε

(ii) Nilai limit suatu fungsi untuk x mendekati negatif tak hingga sama dengan L jika semakin besar nilai x (arah negatif) maka nilai f(x) semakin mendekati L.

ditulis: (∀ε > 0)(∃M > 0) ∋ (∀x ∈ D_f). x < -M → |f(x) - L| < ε

(iii) Nilai limit suatu fungsi untuk x mendekati tak hingga sama dengan tak hingga jika semakin besar nilai x (arah positif) maka nilai f(x) juga semakin besar (arah positif).

ditulis: (∀M > 0)(∃K > 0) ∋ (∀x ∈ D_f). x > K → f(x) > M

Teorema limit menuju tak hingga:

Jika k ∈ N maka:

Contoh untuk fungsi pecah:

Pada kasus ini pangkat pembilang lebih rendah dari penyebut, hal ini mengakibatkan hasil limitnya 0, karena masing-masing suku dibagi dengan pangkat tertinggi penyebut. Akibatnya pembilang menjadi 0 karena semua sukunya dibagi dengan tak hingga.
Contoh lain:

Pada kasus ini pangkat pembilang sama dengan penyebut. Masing-masing suku dibagi dengan pangkat tertinggi. Akibatnya suku selain pangkat tertinggi menjadi 0, dan tersisa suku dengan pangkat tertinggi.

Contoh lain:

Contoh untuk bentuk akar:

Cara untuk menyelesaikan limit bentuk akar adalah mengalikan dengan sekawannya.

C. Asimtot

Dalam grafik fungsi, terkadang ada garis yang hanya didekati akan tetapi tidak pernah disentuh, garis tersebut disebut asimtot.

1. Asimtot tegak

Garis x = c adalah asimtot tegak suatu fungsi y = f(x) pada:

2. Asimtot mendatar

Garis y = b adalah asimtot mendatar suatu fungsi y = f(x) pada:

3. Asimtot miring

Asimtot miring umumnya berbentuk persamaan y = mx + n, dengan

contoh:

Tentukan asimtot tegak dan asimtot datar dari fungsi f(x) = 2x/(x - 1)

(i) Asimtot tegak pada fungsi rasional terjadi ketika penyebut bernilai 0, asimtot tegaknya adalah x = 1

(ii) Asimtot mendatar:

Jadi, asimtot mendatarnya adalah y = 2