Pengertian Limit

Misalkan fungsi f(x) = 2x + 3. Apa yang terjadi dengan f(x) apabila x cukup dekat dengan 2? lihat tabel:

x	f(x) = 2x + 3	x	f(x) = 2x + 3
3	9	1,5	6
2,1	7,2	1,95	6,9
2,01	7,02	1,995	6,99
2,001	7,002	1,9995	6,999

Dari tabel terlihat bahwa semakin x mendekati 2, maka nilai f(x) semakin mendekati 7. Hal ini wajar, karena jika dihitung f(2) = 2.2 + 3 = 7. Dalam hal ini dikatakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati 2 sama dengan 7, ditulis:

Contoh lainnya misalkan f(x) = (x² – 1) / (x - 1), yang mana f(x) tidak terdefinisi di x = 1 karena di titik ini f(x) berbentuk 0/0. Tetapi masih dapat dipertanyakan apa yang terjadi pada f(x) ketika x mendekati 1, tetapi x ≠ 1. Untuk x ≠ 1, f(x) = (x² – 1) / (x - 1) = (x + 1)(x - 1) / (x - 1) = x + 1. Lihat tabel berikut:

x	f(x) = (x2 – 1) / (x - 1)	x	f(x) = (x2 – 1) / (x - 1)
2	3	0,5	1,5
1,1	2,1	0,95	1,95
1,01	2,01	0,995	1,995
1,001	2,001	0,9995	1,9995

Dari tabel terlihat bahwa semakin x mendekati 1, maka nilai f(x) semakin mendekati 2. Jadi,

Limit f(x) x mendekati c sama dengan L, ditulis:

jika untuk setiap x yang cukup dekat dengan c, tetapi x ≠ c, maka f(x) mendekati L (definisi ini disebut "Definisi Intuitif Limit"). Atau didefinisikan:

(∀ε > 0)(∃δ > 0) ∋ (∀x ∈ D_f). 0 < |x - c| < δ ⇒ |f(x) - L| < ε

definisi ini disebut "Definisi Persis Limit"

Gambaran definisi persis limit step-by-step:

Catatan: Pada definisi limit di atas, fungsi f tidak perlu terdefinisikan di c. Limit f(x) untuk x mendekati c mungkin ada walaupun f tidak terdefinisikan di c.

Contoh: Buktikan bahwa:

|(2x - 5) - 3| = |2x - 8| = |2(x - 4)| = 2|x - 4|
Ambil sebarang ε > 0, pilih δ = ε/2, maka berlaku:

0 < |x - 4| < δ ⇒ |(2x - 5) - 3| < ε

|(2x - 5) - 3| = |2x - 8| = |2(x - 4)| = 2|x - 4| < 2δ = ε

Ini berarti telah ditunjukkan bahwa untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0

Ketunggalan limit: Jika limit suatu fungsi pada x = c ada maka nilainya tunggal.

Jadi, jika nilai limit tidak tunggal, maka limitnya tidak ada, contoh: