Permasalahan Ekstrim (Penggunaan Turunan)

Setiap masalah yang dibicarakan menghendaki adanya kuantitas yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan. Diharapkan kuantitas tersebut dapat diformulasikan dalam bentuk fungsi. Selanjutnya, masalah dapat direduksi menjadi pertanyaan: Kapan fungsi tersebut mencapai maksimum/minimum?. Untuk dapat menjawab pertayaan tersebut, ditempuh langkah-langkah sebagai berikut:

(i) Identifikasi kuantitas yang akan dimaksimumkan/diminimumkan dan mulai dengan suatu simbol

(ii) Tentukan variabel-variabel yang ada dalam permasalahan apabila perlu digunakan gambar untuk bantuan

(iii) Tentukan hubungan antar variabel

(iv) Nyatakan kuantitas yang akan dimaksimumkan/diminimumkan ke  dalam fungsi satu variabel dan tentukan domain fungsi tersebut

(v) Terapkan teknik pencarian maksimum/minimum fungsi yang diperoleh pada (iv)

Contoh permasalahan

1. Seorang petani akan memagari tiga kandang berdampingan dengan kawat seperti pada gambar. Masing-masing kandang memiliki luas 80 m². Jika bagian isi kandang yang menempel dengan dinding gudang (Barn) tidak diberi kawat, tentukan ukuran kandang keseluruhan sehingga panjang kawat yang dibutuhkan sesedikit mungkin!

Diketahui luas masing-masing kandang adalah 80m², diperoleh p.l = 80

Dari gambar kita mendapati bagian isi kandang yang diberi kawat adalah 3p + 4l, diperoleh k = 3p + 4l

Agar panjang kawat minimum, diharuskan turunannya 0, yaitu k' = 0

Jadi, panjang masing-masing kandang adalah 10,33m dan lebarnya adalah 7,75m

2. Suatu kotak tertutup akan dibuat dari karton berbentuk persegi panjang dengan ukuran panjang 8 cm dan lebar 5 cm. Sebelum dibentuk menjadi kotak, karton dilipat menjadi dua bagian sama besar. Daerah yang diarsir adalah daerah karton yang dipotong kemudian dilipat mengikut garis putus-putus seperti pada gambar di bawah. Tentukan ukuran kotak tersebut (nilai p, l, dan t) sedemikian sehingga kotak memiliki volume yang maksimum!

Diketahui panjang karton 8cm dan lebarnya 5cm, dari gambarnya didapati:

Panjang: (8 - 2t)/2 = 4 - t

Lebar: 5 - 2t

Tinggi: t

Batasan-batasannya adalah nilai t tidak boleh negatif agar tingginya tidak negatif, dan nilai t tidak boleh lebih dari 5/2 agar lebarnya tidak negatif. Pada kedua titik ujung didapati volumenya 0, oleh karena itu agar volume maksimum diharuskan turunannya (yaitu V') bernilai 0.

V = p.l.t = (4 - t)(5 - 2t)t = 2t³ – 13t² + 20 t

Agar volume maksimum, V' = 0

V' = 6t² – 26t + 20 = 0

2(3t - 10)(t - 1) = 0

t = 10/3(TM) atau t = 1

Panjang: 4 - t = 4 - 1 = 3cm

Lebar: 5 - 2t = 5 - 2 = 3cm

Tinggi: t = 1cm

Jadi, p = 3cm, l = 3cm, dan t = 1cm