Rumus-Rumus Dasar dan Sifat-Sifat Turunan

1. Fungsi Konstan

Diberikan fungsi konstan f(x) = c, grafik dari fungsi f adalah garis mendatar. Oleh karena itu garis singgungnya pasti juga mendatar dimanapun titiknya. Dikarenakan garis singgungnya mendatar maka gradiennya 0, yang artinya turunannya adalah 0.



2. Fungsi Pangkat
Jika f(x) = xn maka f'(x) = n.xn-1, ∀n bilangan asli (bulat positif)
Pembuktian dengan rumus binomial Newton:
Untuk n = 0, xn = x0 = 1 yang artinya f konstan, sehingga f'(x) = 0. Dengan demikian, rumus tersebut berlaku untuk semua n bilangan cacah (bilangan bulat 0 atau positif).
Turunan dari fungsi identitas f(x) = x adalah f'(x) = 1.

3. Sifat-Sifat Dasar Turunan
Jika f dan g fungsi yang dapat diturunkan, k sebarang konstanta real, berlaku
a) Konstanta (Constant rule)
(k.f)' = k.f'
b) Jumlah dan selisih (Sum and difference rule)
(f ± g)' = f' ± g'
Untuk selisih tinggal mengganti tanda
c) Hasil kali (Product rule)
(f.g)' = f'.g + f.g'
Turunan hasil kali dapat dikembangkan untuk lebih dari dua fungsi:
(f.g.h)' = f'.g.h + f.g'.h + f.g.h'
(f.g.h.i)' = f'.g.h.i + f.g'.h.i + f.g.h'.i + f.g.h.i'
Turunan hasil kali banyak fungsi umumnya berbentuk sum of products sebagaimana berikut:
yaitu jumlah dari hasil kali semua fungsi dengan masing-masing fungsi diturunkan secara bergilir.
d) Hasil bagi (Quotient rule)
(f/g)' = (f'.g - f.g')/g2

Perluasan turunan fungsi pangkat
Selain untuk bilangan bulat positif ataupun 0, rumus turunan fungsi pangkat juga berlaku untuk bilangan bulat negatif.
Apabila n bilangan bulat negatif, maka ada bilangan bulat positif m sehingga n = -m dan diperoleh:
Dengan demikian, rumus tersebut berlaku untuk semua n bilangan bulat.
Selain itu, rumus tersebut juga berlaku untuk semua n bilangan rasional. Misalkan n bilangan rasional, maka terdapat bilangan bulat p dan q sehingga n = p/q.
Dari sini rumus tersebut berlaku untuk semua bilangan rasional. Sehingga menjadi:
Jika f(x) = xn maka f'(x) = n.xn-1, ∀n bilangan rasional
Sebenarnya rumus tersebut berlaku untuk semua n bilangan real, pembuktiannya menyusul pada pembahasan turunan fungsi eksponensial.

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Uji Linearitas dan Keberartian Regresi

Gambar
1. Uji Linearitas Regresi ➢ Analisis regresi mengharuskan adanya hubungan fungsional antara X dan Y yang linear → perubahan nilai di salah satu variabel independen akan menghasilkan perubahan yang konstan pada variabel dependen. ➢ Tujuan linearitas pada regresi adalah meyakinkan hubungan linear pada X dan Y dan juga dampak dari model tersebut. Selain itu, residu tersisa sudah tidak memiliki pola tertentu sehingga memastikan bahwa model yang dikeluarkan benar tepat.  ➢ Tidak dipenuhinya asumsi linearitas menjadikan estimasi parameter regresi menjadi bias (koefisien regresi, kesalahan baku, dan pengujian signifikansi) yang berakibat model regresi menjadi tidak tepat jika digunakan untuk prediksi. ➢ Hasil analisis regresi yang underfitting atau overfitting serta resiko kesalahan tipe I atau tipe II menjadi sangat besar. Berikut langkah-langkah uji linearitas: 1. Urutkan dan Kelompokkan Data Data diurutkan berdasarkan nilai X dari terkecil hingga terbesar. Data dengan nilai X yang sama...
Read more »

Limit dan Kekontinuan Fungsi Dua Variabel

Gambar
Mungkin tampak aneh bahwa kita membahas turunan parsial sebelum limit untuk fungsi dua variabel atau lebih. Namun, diferensiasi parsial sebenarnya merupakan ide yang lebih sederhana karena semua variabel kecuali satu variabel dijaga tetap. Satu-satunya konsep yang diperlukan untuk mendefinisikan turunan parsial adalah limit dari suatu fungsi satu variabel. Di sisi lain, limit dari suatu fungsi dua (atau lebih) variabel adalah konsep yang lebih dalam karena kita harus memperhitungkan semua cara di mana (x, y) mendekati (a, b). Ini tidak dapat disederhanakan menjadi memperlakukan "satu variabel pada satu waktu" seperti diferensiasi parsial. Limit dari suatu fungsi dua variabel memiliki arti intuitif yang biasa: Nilai-nilai f(x, y) semakin mendekati angka L ketika (x, y) mendekati (a, b). Masalahnya adalah bahwa (x, y) dapat mendekati (a, b) dengan cara yang tak terhingga banyaknya. Kita menginginkan definisi yang memberikan L yang sama tidak peduli jalur apa yang diambil (x, y)...
Read more »

Sistem Persamaan Diferensial Linier Homogen Berkoefisien Konstan

Gambar
1. Pengenalan Di halaman ini kita akan membahas sistem linear homogen dx/dt = a₁x + b₁y dy/dt = a₂x + b₂y dimana koefisien a₁, b₁, a₂, dan b₂ adalah konstanta real. Kita mencari solusi dari sistem ini; tapi bagaimana kita harus melanjutkannya? Ingatlah kembali bahwa kita mencari dan menemukan solusi eksponensial dari sistem linear tunggal berderajat n dengan koefisien konstan. Mengingat analogi yang ada antara sistem linear dan persamaan diferensial tingkat-tinggi tunggal, kita sekarang mungkin bisa mencoba menemukan solusi eksponensial dari sistem tersebut. Oleh karena itu mari kita coba tentukan solusi dalam bentuk x = Ae λt   y = Be λt   dimana A, B, dan λ adalah konstanta. Jika kita substitusikan bentuk eksponensial ke dalam persamaan awal, kita mendapatkan Aλe λt  = a₁Ae λt  + b₁Be λt   Bλe λt  = a₂Ae λt  + b₂Be λt   Persamaan-persamaan ini mengarah langsung ke sistem (a₁ – λ)A + b₁B = 0 a₂A + (b₂ – λ)B = 0 dalam variabel-variabel yang tidak ...
Read more »