Rumus-Rumus Dasar dan Sifat-Sifat Turunan

1. Fungsi Konstan

Diberikan fungsi konstan f(x) = c, grafik dari fungsi f adalah garis mendatar. Oleh karena itu garis singgungnya pasti juga mendatar dimanapun titiknya. Dikarenakan garis singgungnya mendatar maka gradiennya 0, yang artinya turunannya adalah 0.

2. Fungsi Pangkat

Jika f(x) = xⁿ maka f'(x) = n.x^n-1, ∀n bilangan asli (bulat positif)

Pembuktian dengan rumus binomial Newton:

Untuk n = 0, xⁿ = x⁰ = 1 yang artinya f konstan, sehingga f'(x) = 0. Dengan demikian, rumus tersebut berlaku untuk semua n bilangan cacah (bilangan bulat 0 atau positif).

Turunan dari fungsi identitas f(x) = x adalah f'(x) = 1.

3. Sifat-Sifat Dasar Turunan

Jika f dan g fungsi yang dapat diturunkan, k sebarang konstanta real, berlaku

a) Konstanta (Constant rule)

(k.f)' = k.f'

b) Jumlah dan selisih (Sum and difference rule)

(f ± g)' = f' ± g'

Untuk selisih tinggal mengganti tanda

c) Hasil kali (Product rule)

(f.g)' = f'.g + f.g'

Turunan hasil kali dapat dikembangkan untuk lebih dari dua fungsi:

(f.g.h)' = f'.g.h + f.g'.h + f.g.h'

(f.g.h.i)' = f'.g.h.i + f.g'.h.i + f.g.h'.i + f.g.h.i'

Turunan hasil kali banyak fungsi umumnya berbentuk sum of products sebagaimana berikut:

yaitu jumlah dari hasil kali semua fungsi dengan masing-masing fungsi diturunkan secara bergilir.

d) Hasil bagi (Quotient rule)
(f/g)' = (f'.g - f.g')/g²

Perluasan turunan fungsi pangkat

Selain untuk bilangan bulat positif ataupun 0, rumus turunan fungsi pangkat juga berlaku untuk bilangan bulat negatif.

Apabila n bilangan bulat negatif, maka ada bilangan bulat positif m sehingga n = -m dan diperoleh:

Dengan demikian, rumus tersebut berlaku untuk semua n bilangan bulat.

Selain itu, rumus tersebut juga berlaku untuk semua n bilangan rasional. Misalkan n bilangan rasional, maka terdapat bilangan bulat p dan q sehingga n = p/q.

Dari sini rumus tersebut berlaku untuk semua bilangan rasional. Sehingga menjadi:

Jika f(x) = xⁿ maka f'(x) = n.x^n-1, ∀n bilangan rasional

Sebenarnya rumus tersebut berlaku untuk semua n bilangan real, pembuktiannya menyusul pada pembahasan turunan fungsi eksponensial.