Sistem Bilangan Real

Bilangan real adalah bilangan nyata, yang memang ada sungguhan. Bilangan real terbagi menjadi bilangan bulat (integer) dan bilangan pecah (float). Bilangan bulat adalah bilangan yang utuh, tidak terpecah, sedangkan bilangan pecah adalah bilangan yang tidak utuh. Bilangan pecah terbagi menjadi bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan rasional adalah bilangan dalam bentuk a/b, dengan a bilangan bulat dan b bilangan asli (bilangan bulat positif), a dan b relatif prima (FPB dari keduanya adalah 1). Sedangkan bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat ditemukan padanya sifat-sifat bilangan rasional sebagaimana yang telah disebutkan. Bilangan irasional terbagi menjadi bilangan radikal (bilangan dalam tanda akar) dan bilangan transendental (bilangan yang tidak mungkin ditemukan bentuk radikal). Bilangan radikal adalah bilangan rasional dalam tanda akar.

Sifat desimal dari bilangan rasional adalah sebagai berikut:

a. Berhenti, jika tidak ada faktor prima selain 2 dan 5 dari penyebutnya. Misal: 3/4, 2/5, 1/8, etc.

b. Berulang beraturan, jika ada faktor prima selain 2 dan 5 dari penyebutnya. Misal: 5/3, 7/66, etc.

Adapun sifat desimal dari bilangan irasional tidak beraturan.

1. Sifat-Sifat Sistem Bilangan Real

a. Sifat komutatif

a + b = b + a

a × b = b × a

b. Sifat asosiatif

a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c

a × (b × c) = (a × b) × c = a × b × c

c. Sifat distributif

a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

a × (b - c) = (a × b) - (a × c)

d. Sifat pecahan

e. Sifat perkalian negatif

f. Sifat pembagian dengan 0

g. Hukum kanselasi

h. Sifat perkalian dengan 0

Jika a × b = 0 maka a = 0 atau b = 0

i. Identitas

a + 0 = 0 + a = a

a × 1 = 1 × a = a

j. Invers

Invers penjumlahan (disebut lawan) dari a adalah -a

Invers perkalian (disebut resiprokal) dari a adalah 1/a

2. Relasi Urutan

Himpunan semua bilangan real dapat dipartisi menjadi 3 bagian, yaitu:

(i) Himpunan semua bilangan real positif = {x| x > 0}

(ii) Himpunan dengan bilangan 0 sebagai satu-satunya anggota = {0}

(iii) Himpunan semua bilangan real negatif = {x| x < 0}

Bilangan a dikatakan kurang dari b (ditulis a < b) jika b - a positif, dan bilangan a dikatakan lebih dari b (ditulis a > b) jika b - a negatif. Mudah ditunjukkan bahwa:

(i) Bilangan a positif jika dan hanya jika a > 0

(ii) Bilangan a negatif jika dan hanya jika a < 0

Jika a kurang dari atau sama dengan b maka ditulis a ≤ b. Jika a lebih dari atau sama dengan b maka ditulis a ≥ b. Sedangkan a < b < c dimaksudkan sebagai a < b dan b < c, artinya b diantara a dan c. Berikut ini beberapa sifat-sifat relasi urutan:

a. Sifat urutan penjumlahan

Jika a ≤ c maka a + c ≤ b + c

b. Sifat transitif

Jika a ≤ b dan b ≤ c maka a ≤ c

c. Sifat urutan perkalian

(i) Jika a ≤ b dan c > 0 maka a.c ≤ b.c

(ii) Jika a ≤ b dan c < 0 maka a.c ≥ b.c

(iii) Jika a ≠ 0 maka a² > 0

(iv) Jika a.b > 0, maka a, b > 0 atau a, b < 0

(v) Jika a.b < 0, maka a > 0 dan b < 0 atau a < 0 dan b > 0

d. Sifat urutan pembagian

(iii) Jika 0 < a < b maka 1/a > 1/b

e. Komparasi / Trikotomi

Untuk sebarang bilangan real a dan b berlaku tepat satu: a < b, a = b, atau a > b

f. Kuadrat dan akar

3. Garis Bilangan

Sistem bilangan real dapat digambar dengan garis lurus. Bilangan positif terletak di sebelah kanan 0, sedangkan bilangan negatif terletak di sebelah kiri 0. Umumnya setiap bilangan bulat diberi titik, baik itu positif, nol, maupun negatif.

Sifat kerapatan bilangan real: Diantara sebarang dua bilangan real a dan b selalu terdapat bilangan real lain, sedekat apapun a dan b. Oleh karena itu diantara sebarang dua bilangan real terdapat tak hingga bilangan real, dengan kata lain bilangan real rapat pada garis bilangan real. Disebut juga sebagai sifat kelengkapan, yaitu garis bilangan real merupakan garis yang tak berlubang.

Teorema kepadatan bilangan real: Jika x dan y sebarang bilangan real dengan x < y, maka terdapat bilangan rasional r sehingga x < r < y. Korolari dari teorema ini adalah terdapat bilangan irasional s sehingga x < s < y.

4. Pertidaksamaan (Inequality)
Perubah (variabel) adalah lambang (simbol) yang digunakan untuk menyatakan sebarang anggota suatu himpunan. Pertidaksamaan adalah pernyataan matematis yang memuat satu variabel atau lebih dan salahsatu tanda ketidaksamaan (<, >, ≤, ≥).

Menyelesaikan suatu pertidaksamaan berarti mencari seluruh bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. Himpunan semua bilangan real yang memenuhinya disebut penyelesaian atau solusi. Contoh:

2x - 5 < 5x + 7

2x - 5x < 7 + 5

-3x < 12

x > -4

HP = {x ∈ R| x > -4}

Contoh lain:

x² – 5x + 6 > 0

Kasus ini perlu difaktoran, sehingga menjadi (x - 2)(x - 3) > 0

Perlu diketahui bahwa hasil kali 2 bilangan real positif apabila kedua faktor positif atau kedua faktor negatif. Oleh karena itu dipecah kasus:

(i) Untuk kedua faktor positif:

x - 2 > 0 dan x - 3 > 0

x > 2 dan x > 3, berarti x > 3

(ii) Untuk kedua faktor negatif:

x - 2 < 0 dan x - 3 < 0

x < 2 dan x < 3, berarti x < 2

Jadi, penyelesaiannya adalah {x ∈ R| x < 2 ∨ x > 3}

5. Nilai Mutlak (Absolute Value)

Nilai mutlak adalah jarak suatu bilangan dari 0. Dengan kata lain nilai mutlak adalah nilai non-negatif.

Nilai mutlak x ∈ R, dinotasikan |x|, didefinisikan sebagai:

Sebagai contoh, |-8| = -(-8) = 8, |3| = 3. Berikut sifat-sifat nilai mutlak:

a. Positif atau nol

|x| ≥ 0

|x| = 0 ⇔ x = 0

b. Perkalian dan pembagian

c. Ketaksamaan segitiga

||x| - |y|| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|

||x| - |y|| ≤ |x - y| ≤ |x| + |y|

Secara geometris, nilai mutlak |x - a| dapat diartikan sebagai jarak dari a ke x. Contoh jika |x - 3| = 7 maka artinya x berjarak 7 unit di sebelah kanan dan kiri 3. Lihat garis bilangan:

Jadi, penyelesaian |x - 3| = 7 adalah {-4, 10}

Sifat nilai mutlak terhadap konstanta, yaitu jika a ≥ 0 maka:

a. |x| = a ⇔ x = a atau x = -a

b. |x| ≤ a ⇔ -a ≤ x ≤ a

c. |x| ≥ a ⇔ x ≤ -a atau x ≥ a

Contoh: |2x - 3| ≥ 7

|2x - 3| ≥ 7 ⇔ 2x - 3 ≤ -7 atau 2x - 3 ≥ 7

⇔ 2x ≤ -4 atau 2x - 3 ≥ 10

⇔ x ≤ -2 atau x ≥ 5

Jadi, penyelesaiannya adalah {x ∈ R| x ≤ -2 ∨ x ≥ 5}

Sifat nilai mutlak variabel:

a. |x| = |-x|

b. |x - y| = |y - x|

c. a² < b² ⇔ |a| < |b|

6. Selang (Interval)

Diberikan sebarang dua bilangan real a dan b, dengan a < b. Selang atau interval didefinisikan:

[a, b] = {x| a ≤ x ≤ b}

(a, b) = {x| a < x < b}

[a, b) = {x| a ≤ x < b}

(a, b] = {x| a < x ≤ b}

[a, ∞) = {x| x ≥ a}

(a, ∞) = {x| x > a}

(-∞, a] = {x| x ≤ a}

(-∞, a) = {x| x < a}

Contoh soal dan pembahasan:

1. Jika |x - a| < 1/2 dan |y - a| < 1/3 maka tunjukkan |x - y| < 5/6

(i) |x - a| < 1/2 berarti -1/2 < x - a < 1/2, ambil x - a < 1/2 ⇔ x - 1/2 < a

(ii) |y - a| < 1/3 berarti -1/3 < y - a < 1/3, ambil -1/3 < y - a ⇔ a < y + 1/3

Pertemukan (i) dan (ii) menjadi x - 1/2 < a < y + 1/3, hilangkan yang di tengah:

x - 1/2 < y + 1/3 ⇔ x - y < 5/6 (iii)

Lihat kembali (i) dan (ii):

Dari (i) ambil -1/2 < x - a ⇔ a < x + 1/2

Dari (ii) ambil y - a < 1/3 ⇔ y - 1/3 < a

Pertemukan keduanya menjadi y - 1/3 < a < x + 1/2, hilangkan yang di tengah:

y - 1/3 < x + 1/2 ⇔ -5/6 < x - y (iv)

Pertemukan (iii) dan (iv) menjadi -5/6 < x - y < 5/6 yang berarti |x - y| < 5/6 (Terbukti)

2. |x² - 3| ≤ 2x

(i) Untuk x² – 3 ≥ 0:

(x+ √3)(x - √3) ≥ 0

x ≤ -√3 ∨ x ≥ √3

x² – 3 ≤ 2x

x² – 3 - 2x ≤ 0

(x + 1)(x - 3) ≤ 0

-1 ≤ x ≤ 3

Irisan x ≤ -√3 ∨ x ≥ √3 dan -1 ≤ x ≤ 3:

(x ≤ -√3 ∨ x ≥ √3) ∧ (-1 ≤ x ≤ 3)

= √3 ≤ x ≤ 3

(ii) Untuk x² – 3 < 0:

(x + √3)(x - √3) < 0

-√3 < x < √3

-x² + 3 ≤ 2x

-x² + 3 - 2x ≤ 0

x² + 2x – 3 ≥ 0

(x + 3)(x - 1) ≥ 0

x ≤ -3 ∨ x ≥ 1

Irisan -√3 < x < √3 dan x ≤ -3 ∨ x ≥ 1:

(-√3 < x < √3) ∧ (x ≤ -3 ∨ x ≥ 1)

= 1 ≤ x < √3

HP = Gabungan dari √3 ≤ x ≤ 3 dan 1 ≤ x < √3

= (√3 ≤ x ≤ 3) ∨ (1 ≤ x < √3)

= {x∈R| 1 ≤ x ≤ 3}

Tonton video di youtube:

Gunawan, H. 2020, 31 Agustus. 0.1-0.4 Bilangan Real, Pertaksamaan, dan Grafik Persamaan [Video]. 

Budhi, W.S. 2020, 23 Agustus. 01a Bilangan Real