Teorema Rolle, Nilai Rata-Rata, Cauchy

1. Teorema Rolle

Jika f kontinu pada interval tertutup [a, b], mempunyai turunan pada (a, b), dan f(a) = f(b), maka terdapat c ∈ (a, b) sehingga f'(c) = 0.

Kemungkinan dari f(a) = f(b):

(i) Pada interval (a, b) f konstan, jelas bahwa turunannya 0 untuk semua x ∈ (a, b)

(ii) Pada interval (a, b) f tidak konstan, berarti grafiknya naik dan turun, dan karena f kontinu pada [a, b] maka a dan b adalah ujung interval, dan tidak ada grafik lompat, dan karena mempunyai turunan pada (a, b) maka tidak ada pojok tajam. Hal ini mencegah grafik selalu naik atau selalu turun, yang artinya adanya kenaikan (dari f(a)) mengharuskan adanya penurunan begitu juga sebaliknya, adanya penurunan mengharuskan adanya kenaikan. Mengapa demikian? agar grafiknya kembali ke nilai awal (yaitu f(b) = f(a)). Oleh karena itu, sekurang-kurangnya akan ada 1 titik puncak, yang mana turunan pada titik puncak yang bukan pojok tajam adalah 0.

2. Teorema Nilai Rata-Rata

Jika f kontinu pada selang tertutup [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b) maka terdapat c ∈ (a, b) sehingga:

Didefinisikan fungsi F(x) = f(x).(b - a) - x.(f(b) - f(a)). Karena f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b) maka F' juga kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b) dengan:

F'(x) = f'(x).(b - a) - (f(b) - f(a))

Substitusikan b ke x:

F(b) = f(b).(b - a) - b.(f(b) - f(a)) = b.f(a) - a.f(b) = f(a).(b - a) - a(f(b) - f(a)) = F(a)

menurut Teorema Rolle, terdapat c ∈ (a, b) sehingga F'(c) = 0. Jadi,

F'(c) = f'(c)(b - a) - (f(b) - f(a)) = 0

f'(c)(b - a) = f(b) - f(a)

Gambarannya seferti grafik berikut:

Garis s sejajar dengan garis yang melalui A(a, f(a)) dan B(b, f(b))

3. Teorema Cauchy

Jika f dan g masing-masing kontinu pada interval tertutup [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b) maka terdapat c ∈ (a, b) sehingga:

Dibentuk fungsi F(x) = f(x).(g(b) - g(a)) - g(x).(f(b) - f(a)). Karena f dan g masing-masing kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b) maka F juga kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b) dengan:

F'(x) = f'(x).(g(b) - g(a)) - g'(x).(f(b) - f(a))

Substitusikan b ke x:

F'(b) = f'(b).(g(b) - g(a)) - g'(b).(f(b) - f(a)) = f(a).g(b) - f(b).g(a)

= f'(a).(g(b) - g(a)) - g'(a).(f(b) - f(a)) = F(a)

menurut Teorema Rolle, terdapat c ∈ (a, b) sehingga F'(c) = 0. Hal ini berakibat:

F'(c) = f'(c).(g(b) - g(a)) - g'(c).(f(b) - f(a)) = 0

f'(c).(g(b) - g(a)) = g'(c).(f(b) - f(a))