Turunan: Muqodimah

Misalkan ada suatu grafik fungsi, muncul pertanyaan berapa gradien garis singgung pada suatu titik yang ada pada grafik tersebut? Jika diketahui dua titik, tentu mudah untuk mengetahui gradiennya, akan tetapi pada kasus ini hanya diketahui satu titik, tentu tak semudah jika diketahui dua titik. Pada kasus ini limit berperan untuk menghitung gradien garis singgung kurva pada suatu titik.

Dari permasalahan diatas telah diketahui bahwa untuk mencari gradien garis yang menyinggung suatu titik pada kurva dapat dicari dengan limit. Nilai limit belum tentu ada, jika nilai limitnya ada dikatakan fungsi f mempunyai turunan di x = a.

Gradien garis singgung atau garis tangen pada titik (a, f(a)) adalah:

1. Pengertian Turunan

Diberikan fungsi f dan a ∈ D_f. Turunan fungsi f di a, dinyatakan dengan f'(a), dan didefinisikan dengan:

asalkan nilai limitnya ada. Pencarian turunan disebut diferensiasi.

Jika ditulis x = a + h, maka x mendekati a jika dan hanya jika h mendekati 0, dapat juga ditulis:

Jika f'(a) ada maka f dikatakan mempunyai turunan (diferensiabel) di a. Rumus umum fungsi turunan:

Jika h diganti dengan Δx menjadi:

Turunan dapat dinotasikan berbagai macam, diantaranya dy/dx yang diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz. Berikut beberapa notasi untuk menyatakan turunan suatu fungsi:

2. Hubungan Turunan dengan Fungsi Kontinu

Teorema kontinuitas: "Jika f mempunyai derivatif di a, maka f kontinu di a", karena jika suatu kurva memiliki garus sunggung di suatu titik, maka kurva tersebut tidak dapat melompat di titik tersebut. Kontraposisi dari teorema ini adalah "Jika f tidak kontinu di a, maka f tidak mempunyai derivatif di a". Bukti:

Perlu diketahui bahwa teorema ini tidak berlaku sebaliknya, terkadang f kontinu di a tetapi tidak dapat diturunkan di a. Contohnya f(x) = |x|, f kontinu pada x = 0 akan tetapi tidak memiliki turunan karena jika dimasukkan ke rumus turunan akan didapati limitnya tidak ada.

Selain ketidakkontinuan, tidak adanya turunan juga disebabkan perbedaan limit kanan dan limit kiri pada rumus turunan. Oleh karena itu dikenal istilah turunan satu sisi.

Turunan kanan dari suatu fungsi adalah hasil limit kanan dari rumus turunannya, sedangkan turunan kiri dari suatu fungsi adalah hasil limit kiri dari rumus turunannya. Dapat ditulis:

Jika nilai limit masing-masing sisi ada tetapi berbeda, kita akan mendapati pojok tajam pada kurvanya.

Termasuk penyebab tidak adanya turunan adalah hasil limitnya tak hingga, kita akan mendapati pada kurvanya garis singgung tegak. Contoh grafik dengan titik tidak dapat diturunkan:

Contoh soal dan pembahasan

Tentukan turunan dari f(x) = x² - 3x + 2