Transformasi Sumbu

1. Translasi Sumbu Koordinat Cartesius

Sumbu X dan Y ditranslasikan ke (a, b) menjadi sumbu koordinat baru X ̅ dan Y ̅ . Koordinat titik P terhadap sumbu koordinat semula P(x, y) dan terhadap koordinat baru P(x ̅, y ̅).

Hubungan antara koordinat lama dan koordinat baru setelah sumbu koordinat ditranslasikan ke (a, b):

x = x ̅ + a,    x ̅ = x - a

y = y ̅ + b,    y ̅ = y - b

2. Rotasi Sumbu Koordinat Cartesius

Sumbu X dan Y dirotasikan dengan pusat rotasi (0, 0) menjadi sumbu koordinat baru X ̅ dan Y ̅ . Koordinat titik P terhadap sumbu koordinat semula P(x, y) dan terhadap koordinat baru P(x ̅, y ̅).

Misalkan x = OA, y = PA, 𝑥 ̅= 𝑂𝑅, 𝑦 ̅= 𝑃𝑅, 𝛼 sudut antara X dengan X ̅

Hubungan x dengan 𝑥 ̅ dan 𝑦 ̅ adalah:

Sedangkan hubungan y dengan 𝑥 ̅ dan 𝑦 ̅ adalah:

Sedangkan 𝑥 ̅ dan 𝑦 ̅ adalah:

Jadi, 𝑥 = 𝑥 ̅.cos⁡𝛼 − 𝑦 ̅.sin⁡𝛼    𝑦 = 𝑥 ̅.sin⁡𝛼 + 𝑦 ̅.cos⁡𝛼 

𝑥 ̅ = 𝑥.cos⁡𝛼 + 𝑦.sin⁡𝛼    𝑦 ̅ = 𝑦.cos⁡𝛼 − 𝑥.sin⁡𝛼

3. Translasi Sumbu Koordinat Polar

Suatu koordinat polar berpusat di O ditranslasikan ke (a, b). Koordinat titik P terhadap sumbu koordinat semula P(r, 𝛼) dan terhadap koordinat baru P(r ̅, 𝛼 ̅).

Hubungan koordinat baru dengan koordinat lama adalah:

Sedangkan hubungan koordinat lama dengan koordinat baru adalah:

4. Rotasi Sumbu Koordinat Polar

Rotasi sumbu koordinat polar tidak mengubah r, sedangkan sudutnya ditambahkan. Misalkan koordinat suatu titik P adalah P(r, 𝛼), sumbu X dirotasi sebesar β sehingga terbentuk sumbu X ̅, koordinat baru adalah P(r, 𝛼 - β).

5. Rumus Jumlah Sudut

Misalkan x = OA, y = PA, 𝑥 ̅= 𝑂𝑅, 𝑦 ̅= 𝑃𝑅, r = OP, 𝛼 sudut antara X dengan X ̅, 𝛼 juga sudut antara Y dan Y ̅, β sudut antara sumbu X ̅ dengan OP.

Sudut antara sumbu X dengan OP adalah 𝛼 + β.

Dari rumus rotasi sumbu, diperoleh:

Rumus kosinus jumlah (juga selisih) sudut:

Rumus sinus jumlah (juga selisih) sudut:

Rumus tangen jumlah (juga selisih) sudut:

Rumus kotangen jumlah (juga selisih) sudut: