Sixty Four Science

Jika kita tuliskan persamaan paraboloid hiperbolik dalam bentuk: maka kedua sistem garis lurus dan terletak pada paraboloid tersebut. Untuk setiap harga 𝜆, diperoleh satu garis lurus pada himpunan garis lurus (A), dan untuk setiap 𝜇, diperoleh satu garis lurus pada himpunan garis lurus (B). Dengan mengubah-ubah 𝜆 dan 𝜇 diperoleh garis-garis lurus yang membentuk paraboloid hiperbolik tersebut. Kedua himpunan (A) dan (B) di atas disebut sistem garis lurus pembentuk. Beberapa sifat: a. Setiap titik pada paraboloid hiperbolik dilalui oleh satu garis lurus dari sistem (A) dan satu garis lurus dari (B). b. Dua garis lurus dari sistem yang sama, tidak berpotongan. c. Dua garis lurus dari sistem yang berbeda, akan berpotongan. Contoh: Tentukan persamaan garis pelukis paraboloida hiperbolik x² – y² = 2z yang menyinggung bola x² + y² + z² = 1. Faktorkan x² – y² = 2z menjadi (x – y)(x + y) = 2z Sistem A: x – y = 𝜆z, 2 = 𝜆(x + y) Sistem B: x – y = 2𝜇, z = 𝜇(x + y) Dari sistem...

1. Bidang Kutub Paraboloid dari Titik P( x 1 ,  y 1 ,  z 1 ) diluar Hiperboloid yang Puncaknya di O(0, 0, 0) Misal titik P( x 1 , y 1 , z 1 ) diluar paraboloid hiperbolik yang berpusat di O(0, 0, 0), misal dibuat bidang singgung paraboloid melalui P dan misal Q( x 0 , y 0 , z 0 ) adalah salahsatu titik singgungnya, persamaan bidang singgung tersebut: karena bidang singgung ini melalui P, berlaku: Dari sini dapat kita lihat, bahwa koordinat-koordinat  x 0 , y 0 , z 0  dari titik-titik singgung dari bidang-bidang singgung yang dibuat dari P( x 1 , y 1 , z 1 ) pada paraboloid, memenuhi pada persamaan: Jadi titik-titik singgungnya semuanya terletak pada bidang datar yang dinyatakan oleh persamaan ini. Bidang ini dinamakan bidang kutub. 2. Bidang Kutub Paraboloid dari Titik P( x 1 ,  y 1 ,  z 1 ) diluar Paraboloid yang Puncaknya di  M ( a, b, g ) Misal suatu paraboloid puncaknya di O(0, 0, 0), puncaknya...

1. Bidang Singgung Paraboloid di Titik P( x 1 ,  y 1 ,  z 1 ) pada Paraboloid yang Puncaknya di O(0, 0, 0) CALCULUS REQUIRED! •  Suatu paraboloid hiperbolik umumnya memiliki persamaan: •  Buat ruas kanan menjadi 0 • Persamaan ini sudah dalam bentuk f(x, y, z) = 0. Gradien garis singgung dapat ditentukan menggunakan turunan parsial pertama, yaitu: f x (x, y, z) = 2x/a²,      f y (x, y, z) = –2y/b²,    f z (x, y, z) = –2p/a² Gradiennya adalah (2x/a², –2y/b², –2p/a²), sederhanakan menjadi (x/a², –y/b², –p/a²) • Misal titik  P( x 1 , y 1 , z 1 ) terletak pada paraboloid hiperbolik, gradiennya menjadi  ( x 1 /a², –y 1 /b², –p/a²) • Persamaan bidang melalui  P( x 1 , y 1 , z 1 ) dengan bilangan arah  ( x 1 /a², –y 1 /b², –p/a²): • Karena  P( x 1 , y 1 , z 1 ) terletak pada paraboloid hiperbolik, persamaannya menjadi: Bentuk terakhir ini adalah persamaan bidang singgung paraboloid hiperbolik mel...

1. Persamaan Paraboloid dengan Puncak O(0, 0, 0) Misal di bidang XOZ terdapat parabola y = 0, x² = 2pz. Suatu hiperbola sejajar dengan bidang XOY, sehingga titik pusatnya tepat pada sumbu z, puncak-puncaknya yang sejati terletak pada parabola dan perbandingan sumbu-sumbunya adalah konstan a : b. Dengan cara yang sama seperti pada elipsoid kita temukan persamaan bidang yang dilalui oleh hiperbola yang bergerak itu: Permukaan ini disebut sebagai paraboloid hiperbolik. Keterangan: • Paraboloid ini memiliki 2 bidang simetri, yaitu XOZ, dan YOZ • Paraboloid ini memiliki 3 sumbu simetri, yaitu sumbu x, sumbu y, dan sumbu z • Paraboloid ini memiliki 1 titik puncak, yaitu (0, 0, 0). Bidang XOY menyinggung paraboloid di titik puncak ini. Secara analog, kita juga dapat menentukan persamaan paraboloid hiperbolik untuk bentuk lainnya: 2. Persamaan Paraboloid Elliptik dengan Puncak M( a, b, g ) Misal suatu paraboloid hiperbolik berpuncak di O(0, 0, 0), puncaknya digeser ke M( a, ...

1. Bidang Kutub Paraboloid dari Titik P( x 1 ,  y 1 ,  z 1 ) diluar Hiperboloid yang Puncaknya di O(0, 0, 0) Misal titik P( x 1 , y 1 , z 1 ) diluar paraboloid elliptik yang berpusat di O(0, 0, 0), misal dibuat bidang singgung paraboloid melalui P dan misal Q( x 0 , y 0 , z 0 ) adalah salahsatu titik singgungnya, persamaan bidang singgung tersebut: karena bidang singgung ini melalui P, berlaku: Dari sini dapat kita lihat, bahwa koordinat-koordinat  x 0 , y 0 , z 0  dari titik-titik singgung dari bidang-bidang singgung yang dibuat dari P( x 1 , y 1 , z 1 ) pada paraboloid, memenuhi pada persamaan: Jadi titik-titik singgungnya semuanya terletak pada bidang datar yang dinyatakan oleh persamaan ini. Bidang ini dinamakan bidang kutub. 2. Bidang Kutub Paraboloid dari Titik P( x 1 ,  y 1 ,  z 1 ) diluar Paraboloid yang Puncaknya di  M ( a, b, g ) Misal suatu paraboloid puncaknya di O(0, 0, 0), puncaknya d...

1. Bidang Singgung Paraboloid di Titik P( x 1 ,  y 1 ,  z 1 ) pada Paraboloid yang Puncaknya di O(0, 0, 0) CALCULUS REQUIRED! •  Suatu paraboloid elliptik umumnya memiliki persamaan: •  Buat ruas kanan menjadi 0 • Persamaan ini sudah dalam bentuk f(x, y, z) = 0. Gradien garis singgung dapat ditentukan menggunakan turunan parsial pertama, yaitu: f x (x, y, z) = 2x/a²,      f y (x, y, z) = 2y/b²,    f z (x, y, z) = –2p/a² Gradiennya adalah (2x/a², 2y/b², –2p/a²), sederhanakan menjadi (x/a², y/b², –p/a²) • Misal titik  P( x 1 , y 1 , z 1 ) terletak pada paraboloid elliptik, gradiennya menjadi  ( x 1 /a², y 1 /b², –p/a²) • Persamaan bidang melalui  P( x 1 , y 1 , z 1 ) dengan bilangan arah  ( x 1 /a², y 1 /b², –p/a²): • Karena  P( x 1 , y 1 , z 1 ) terletak pada paraboloid elliptik, persamaannya menjadi: Bentuk terakhir ini adalah persamaan bidang singgung paraboloid elliptik melalui titik...

1. Persamaan Paraboloid dengan Puncak O(0, 0, 0) Misal di bidang XOZ terdapat parabola y = 0, x² = 2pz dan di sepanjang parabola ini sebagai garis lengkung arah digerakkan sebuah elips, sedemikian sehingga titik pusatnya tetap berada di sumbu z, bidangnya tetap sejajar dengan bidang XOY, selanjutnya dua dari puncak-puncaknya terletak pada parabol dan perbandingan sumbu-sumbunya adalah tetap konstan a : b. Persamaan permukaan yang dilalui oleh elips yang bergerak itu adalah: Permukaan ini disebut sebagai paraboloid elliptik. Keterangan: • Paraboloid ini memiliki 2 bidang simetri, yaitu XOZ, dan YOZ • Paraboloid ini memiliki 3 sumbu simetri, yaitu sumbu x, sumbu y, dan sumbu z • Paraboloid ini memiliki 1 titik puncak, yaitu (0, 0, 0). Bidang XOY menyinggung paraboloid di titik puncak ini. Secara analog, kita juga dapat menentukan persamaan paraboloid elliptik untuk bentuk lainnya: 2. Persamaan Paraboloid Elliptik dengan Puncak M( a, b, g ) Misal suatu paraboloid ellipt...

1. Bidang Kutub Hiperboloid dari Titik P( x 1 ,  y 1 ,  z 1 ) diluar Hiperboloid yang Berpusat di O(0, 0, 0) Misal titik P( x 1 , y 1 , z 1 ) diluar hiperboloid dua lembar yang berpusat di O(0, 0, 0), misal dibuat bidang singgung hiperboloid melalui P dan misal Q( x 0 , y 0 , z 0 ) adalah salahsatu titik singgungnya, persamaan bidang singgung tersebut: karena bidang singgung ini melalui P, berlaku: Dari sini dapat kita lihat, bahwa koordinat-koordinat  x 0 , y 0 , z 0  dari titik-titik singgung dari bidang-bidang singgung yang dibuat dari P( x 1 , y 1 , z 1 ) pada hiperboloid, memenuhi pada persamaan: Jadi titik-titik singgungnya semuanya terletak pada bidang datar yang dinyatakan oleh persamaan ini. Bidang ini dinamakan bidang kutub. 2. Bidang Kutub Hiperboloid dari Titik P( x 1 ,  y 1 ,  z 1 ) diluar Hiperboloid yang Berpusat di  M ( a, b, g ) Misal suatu hiperboloid berpusat di O(0, 0, 0), pusat...

1. Bidang Singgung Hiperboloid di Titik P( x 1 ,  y 1 ,  z 1 ) pada Hiperboloid yang Berpusat di O(0, 0, 0) Suatu hiperboloid yang berpusat di O(0, 0, 0) dengan satu sumbu real x dan dua sumbu imajiner y dan z umumnya memiliki persamaan: Secara analog dari persamaan bidang singgung ellipsoid, jika diterapkan pada hiperboloid dua lembar, persamaan bidang singgung hiperboloid dua lembar melalui titik P ( x 1 , y 1 , z 1 ) pada hiperboloid adalah: 2. Bidang Singgung Hiperboloid di Titik P( x 1 ,  y 1 ,  z 1 ) pada Hiperboloid yang Berpusat di M ( a, b, g ) Misal suatu hiperboloid berpusat di O(0, 0, 0), pusatnya digeser ke M( a, b, g ), posisi relatifnya akan tergeser. Misal titik  P ( x 1 , y 1 , z 1 ) pada hiperboloid, persamaan bidang singgung hiperboloid melalui P adalah: 3. Bidang Singgung Hiperboloid yang Berpusat di O(0, 0, 0) dengan Bilangan Arah (A, B, C) • Misal persamaan hiperboloid adalah • Persamaan bidang singgung melalui titik P (...