Integral Riemann (Integral Tentu)

Definisi:

Misal f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup [a, b]. Integral Riemann dari a ke b diberikan oleh:

Jika limitnya ada, kita katakan f terintegralkan pada [a, b]. Integral Riemann ini disebut juga integral tentu.
Konsep yang digunakan pada definisi integral tentu hampir sama dengan konsep pada pendahuluan luas, tetapi terdapat beberapa perubahan:

• f boleh negatif pada sebagian atau seluruh [a, b]

• panjang masing-masing interval bagian yang terbentuk oleh partisi tidak harus sama

• titik sampel boleh berupa titik sebarang pada setiap interval bagian

Secara geometris, integral tentu menyatakan luas bertanda, dimana daerah diatas sumbu x luasnya positif, dan daerah dibawah sumbu x luasnya negatif.

Oleh karena itu, luas daerah total adalah jumlah luas daerah diatas sumbu x dikurangi jumlah luas daerah dibawah sumbu x.

Catatan:

• Jika batas atas dan batas bawah sama, maka integral tentunya 0. Mengapa demikian? karena hal ini mengakibatkan panjangnya nol, sehingga luasnya nol.

• Menukar batas atas dengan batas bawah mengubah tanda integral. Hal ini mengubah tanda panjangnya.

Tambahan: Hasil integral Riemann merupakan luas bertanda, dan tandanya tergantung panjang dan lebarnya. Hasil integral bertanda positif apabila panjang dan lebarnya bertanda sama, dan hasil integral bertanda negatif apabila panjang dan lebarnya berbeda tanda.

Panjang daerah bertanda positif apabila batas atas lebih dari batas bawah, dan bertanda negatif apabila batas atas kurang dari batas bawah.

Adapun lebar daerah bertanda positif apabila diatas sumbu x, dan bertanda negatif apabila dibawah sumbu x.

• Variabel x hanyalah variabel dummy, oleh karena itu: