Jumlah Riemann

A. Partisi P pada selang [a, b]

Yang dimaksud dengan partisi P pada selang [a, b] adalah himpunan yang beranggotakan n + 1 titik-titik yang berurutan pada [a, b]

P: a = x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n = b

Masing-masing partisi terbentuk menjadi subinterval [x_i-1, x_i], dengan panjang interval ∆x_i = x_i - x_i-1, dengan i = 1, 2, ..., n

Norm P, dinotasikan dengan |P|, adalah panjang subinterval terpanjang.

|P| = max{∆x_i | 1 ≤ i ≤ n}

B. Jumlah Riemann

Misal f terdefinisi pada selang tertutup [a, b], dengan P: a = x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n = b partisi P pada selang [a, b]. Pada setiap selang bagian ambil sebuah titik sebarang x_i ̅ (mungkin saja sebuah titik ujung), disebut titik sampel.

Jumlah Riemann untuk f yang bersesuaian dengan partisi P adalah:

contoh:

Hitung jumlah Riemann untuk f(x) = -2x + 5 yang bersesuaian dengan partisi P: -3 < -1.3 < 0 < 0.9 < 2; dengan titik sampel -2, -0.5, 0.5, 1.5

Jumlah Riemann dari partisi ini adalah 15,3 + 7,8 + 3,6 + 2,2 = 28,9

Diagram Riemann dari partisi ini pada gambar berikut:

|P| dari partisi ini adalah 1,7 yang mana merupakan panjang partisi terpanjang.

Catatan:

Poligon dalam dan poligon luar merupakan kasus istimewa dari jumlah Riemann.