Keterbatasan dan Keterintegralan Fungsi

A. Fungsi Terbatas

Fungsi f dikatakan terbatas pada selang [a, b] jika terdapat konstanta M sedemikian sehingga |f(x)| ≤ M untuk semua x ∈ [a, b]. Dapat ditulis:

(∃M) ∋ (∀x ∈ [a, b]) |f(x)| ≤ M

Ilustrasi:

|f(x)| ≤ 10, ∀x ∈ [-2, 2]

B. Fungsi Tidak Terbatas

Fungsi f dikatakan tidak terbatas pada selang [a, b] jika untuk setiap konstanta M terdapat x₀ ∈ [a, b] sedemikian sehingga |f(x₀)| > M. Dapat ditulis:

(∀M)(∃x₀ ∈ [a, b]) ∋ |f(x₀)| > M

Ilustrasi:

C. Hubungan antara Keterbatasan Fungsi dengan Keterintegralan

(i) Jika f terintegralkan pada [a, b] maka f terbatas pada [a, b]

(ii) Jika f terbatas pada [a, b] dan kontinu pada interval [a, b] kecuali pada sejumlah berhingga titik maka f terintegralkan pada [a, b]

(iii) Jika f kontinu pada selang [a, b] maka f terintegralkan pada [a, b]

Oleh karena itu, pada sebarang selang tertutup fungsi-fungsi polinom, sinus, kosinus, dan fungsi rasional (asal tidak mengandung titik-titik yang mengakibatkan penyebut nol) terintegralkan.

Ingat! fungsi yang terbatas belum tentu terintegralkan, karena ada syarat tambahan yaitu kontinu atau kalaupun tidak kontinu hanya pada sejumlah titik yang berhingga.

Fungsi yang tidak kontinu bisa jadi terintegralkan, yaitu jika terbatas dan ketidakkontinuannya hanya pada sejumlah titik yang berhingga.

contoh fungsi yang terbatas tetapi tidak terintegralkan:

Fungsi f tidak terintegralkan pada interval [0, 1] karena tidak kontinu pada titik-titik yang tak berhingga banyaknya.

contoh fungsi yang tidak kontinu tetapi terintegralkan:

Fungsi f terintegralkan pada interval [-1, 1] karena terbatas (yaitu |f(x)| ≤ 1), dan ketidakkontinuannya hanya pada x = 0.

D. Partisi Tetap

Jika diketahui bahwa suatu fungsi terintegralkan maka kita boleh menghitung integralnya memakai suatu partisi tetap (selang bagiannya sama panjang) dan mengambil titik sampel dalam cara yang mudah bagi kita.

contoh:

secara grafik digambarkan:

Hasil integralnya 0 karena luas daerah dibawah sumbu x sama dengan luas daerah diatas sumbu x.