Muqodimah Luas Daerah

Masalah pencarian luas membawa kita pada integral tentu.

A. Sifat-Sifat Luas

1. Luas daerah bidang datar adalah bilangan riil non negatif.

2. Daerah yang kongruen memiliki luas yang sama.

3. Luas dari gabungan dua daerah yang berimpit pada suatu kurva adalah jumlah dari luas kedua daerah.

4. Jika satu daerah termuat dalam daerah yang lain maka luas daerah yang pertama kurang dari luas daerah yang kedua.

B. Permasalahan Luas

Poligon adalah daerah tertutup di bidang yang dibatasi oleh segmen-segmen garis lurus. Tentunya mudah untuk menghitung luas poligon, bisa menggunakan rumus luas segitiga maupun segiempat. Menghitung luas daerah melengkung lebih sulit dari menghitung luas poligon.

Archimedes melakukan pendekatan untuk menghitung luas lingkaran dengan luas poligon beraturan (poligon beraturan adalah poligon yang semua sisinya sama panjang dan semua sudutnya sama besar).

Gambaran pendekatan dengan poligon dalam (inscribed polygon) beraturan.

Gambaran pendekatan dengan poligon luar (circumscribed polygon) beraturan.
Semakin banyak sisi poligon beraturan, luasnya semakin mendekati luas lingkaran, dugaan luas lingkaran dengan limit sebagai berikut:

dengan A luas lingkaran, n banyak sisi poligon.

C. Luas Daerah Melengkung
Pendekatan kita untuk mencari luas daerah dengan batas melengkung R didasarkan pada pemikiran yang sama dengan yang dilakukan Archimedes ketika menghitung luas lingkaran

1. Aproksimasikan daerah R oleh n segiempat yang diambil bersama-sama mengandung R, menghasilkan poligon luar, atau terkandung dalam R, menghasilkan poligon dalam

2. Cari luas masing-masing segiempat

3. Jumlahkan luas n segiempat

4. Ambil limit ketika n menuju tak hingga

contoh:

Tinjau daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² dan sumbu x pada interval [0, 2]

Untuk memperkirakan pendekatan luasnya dapat dibuat poligon dalam atau poligon luar.

Setiap persegi panjang memiliki panjang selisih batas kanan dengan batas kiri, dan lebarnya nilai fungsi.

Luas poligon dalam:

Luas poligon luar:

D. Membagi Interval Menjadi Bagian-Bagian Sama Panjang

Misalkan interval [0, 2] dibagi menjadi n bagian sama panjang, masing-masing bagian memiliki panjang (disimbolkan ∆x_i) 2/n.

1. Luas Poligon Dalam

Setiap persegi panjang memiliki panjang bagian interval (disimbolkan ∆x_i), sedangkan lebarnya nilai fungsi x sebelumnya, disimbolkan f(x_i – 1). Sehingga luas masing-masing bagian (disimbolkan ∆D_i) adalah hasil kali panjang (∆x_i) dan lebar f(x_i – 1).

∆D_i = ∆x_i.f(x_i – 1)

Luas poligon dalam untuk kasus pada contoh adalah:

2. Poligon Luar

Setiap persegi panjang memiliki panjang bagian interval (disimbolkan ∆x_i), sedangkan lebarnya nilai fungsi x, disimbolkan f(x_i). Sehingga luas masing-masing bagian (disimbolkan ∆D_i) adalah hasil kali panjang (∆x_i) dan lebar f(x_i).

∆D_i = ∆x_i.f(x_i)

Luas poligon luar untuk kasus pada contoh adalah:

E. Pendekatan Semakin Banyak Bagian

Perhatikan poligon dalam:

Perhatikan juga poligon luar:

Dari kedua gambar kita melihat bahwa semakin besar nilai n, luas poligon semakin mendekati luas daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu x.

Dengan melihat contoh kasus, kita mendapati luas daerahnya: