Teorema Dasar Kalkulus

1. Teorema Dasar Kalkulus Pertama

Perhatikan gambar berikut:

Misal f terintegralkan dan x ∈ [a, b], luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(t), sumbu t, t = a, dan t = x adalah sebagai berikut:

dengan g(x) merupakan fungsi luas daerah tersebut.

Teorema: Misal f kontinu pada selang [a, b] dan misal x suatu titik pada selang (a, b) maka:

Perhatikan gambar berikut:

Misal F(x) merupakan fungsi luas tersebut, berlaku pendekatan F(x + h) - F(x) ≈ h.f(x)

bagi masing-masing ruas dengan h, diperoleh pendekatan:

Selanjutnya mari kita buktikan teorema ini:

Perhatikan gambar berikut:

Misal m nilai minimum F pada interval [x, x + h] dan M nilai maksimum F pada interval [x, x + h], berlaku pembandingan berikut:

mh ≤ F(x + h) - F(x) ≤ Mh, bagi masing-masing ruas dengan h (anggap h positif):

Semakin h mendekati nol, semakin sempit interval, semakin berdekatan nilai pembandingannya. Dengan teorema apit, berlaku:

Untuk h negatif berlaku hal yang sama hanya saja tandanya berbalik.

2. Teorema Dasar Kalkulus Kedua

Jika f kontinu pada selang [a, b] dan misal F sebarang antiturunan dari f pada selang [a, b], maka

Ingat kembali teorema dasar kalkulus pertama, bahwa:

G merupakan antiturunan dari f, F juga antiturunan dari f, berlaku F'(x) = G'(x)

tentunya berlaku juga F(x) = G(x) + C, dan dikarenakan F dan G kontinu pada [a, b] berlaku juga:

F(a) = G(a) + C dan F(b) = G(b) + C

Karena batas bawah a, berlaku G(a) = 0 dan F(a) = C

∴ F(b) - F(a) = G(b) + C - C = G(b)

3. Substitusi Integral Tentu

Misal g memiliki turunan yang kontinu pada selang [a, b], misalkan juga f kontinu pada daerah hasil g, dan u = g(x), maka dapat dilakukan substitusi:

4. Substitusi Fungsi Linear

Fungsi linear memiliki kasus istimewa dari substitusi, yaitu:

hal ini dapat dilakukan karena turunan dari fungsi linear merupakan fungsi konstan, turunan dari px + q adalah p.