Rotasi Baru (Komposisi Geseran dan Rotasi)

1. Komposisi Geseran dengan Rotasi

Untuk sebarang titik A, B, P, dan besar sudut θ, selalu dapat ditemukan titik C sehingga:

a. S_ABR_P,θ = R_C,θ 

Misal terdapat dua garis sejajar r dan s dengan jarak antara keduanya adalah ½|AB|, sehingga dipenuhi S_AB = M_rM_s. Misal terdapat garis t yang memotong s di P dengan sudut antara s dan t adalah ½θ, sehingga dipenuhi R_P,θ = M_sM_t. Kita dapat menguraikan

S_ABR_P,θ = (M_rM_s)(M_sM_t)

= M_rM_sM_sM_t 

= M_rIM_t 

= M_rM_t, karena r sejajar s, sudut antara r dan t juga ½θ, misal r dan t berpotongan di C

= R_C,θ 

b. R_P,θS_AB = R_C,θ 

Misal terdapat dua garis sejajar r dan s dengan jarak antara keduanya adalah ½|AB|, sehingga dipenuhi S_AB = M_sM_r. Misal terdapat garis t yang memotong s di P dengan sudut antara s dan t adalah ½θ, sehingga dipenuhi R_P,θ = M_tM_s. Kita dapat menguraikan

R_P,θS_AB = M_tM_sM_sM_r 

= M_tIM_r 

= M_tM_r, karena r sejajar s, sudut antara r dan t juga ½θ, misal r dan t berpotongan di C

= R_C,θ 

2. Komposisi Rotasi dan Rotasi

Hasil komposisi dua rotasi R_A,α dan R_B,β akan berupa rotasi dengan sudut putarnya α + β untuk α + β ≠ 0°. Sedangkan untuk α + β = 0°, hasil komposisinya akan berupa geseran.

• Kasus untuk α + β ≠ 0°

Perhatikan gambar berikut:

Misal diberikan tiga garis r, s, dan t. Garis r melalui titik A dan C, garis s melalui titik A dan B, garis t melalui titik B dan C. Misal sudut antara r dan s adalah ½α, sudut antara s dan t adalah ½β.

M_sM_r = R_A,α dan M_tM_s = R_B,β 

R_B,βR_A,α = M_tM_sM_sM_r 

= M_tM_r 

Perhatikan bahwa sudut antara garis r dan t adalah 180° − (½α + ½β) berdasarkan jumlah sudut segitiga. Tetapi urutan refleksinya terhadap r terlebih dahulu, lalu terhadap t, sehingga arah sudutnya dari r ke t, yaitu ½α + ½β.

= R_C,α+β 

Jadi, hasil komposisinya berupa rotasi dengan pusat baru dan sudutnya α + β.

• Kasus untuk α + β = 0°

Perhatikan gambar berikut:

Misal diberikan dua garis sejajar r dan t, sedangkan garis s tidak sejajar dengan keduanya.

Komposisi dua refleksi M_sM_r menghasilkan rotasi, juga M_tM_s menghasilkan rotasi. Ketika kedua komposisi dirotasikan, akan terbentuk:

M_tM_sM_sM_r = M_tM_r, karena r dan t sejajar, komposisi M_tM_r menghasilkan geseran.

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Diberikan titik M(2, 4), N(2, −4), P(−1, 6), dan sudut θ = 60°. Tentukan titik K sehingga dipenuhi R_P,θS_MN = R_K,θ.

• Buat vektor MN = (2 − 2, −4 − 4) = (0, −8), panjangnya 8 satuan arahnya ke kiri

• Buat garis s melalui P tegak lurus vektor MN, yaitu s: x = −1

• Buat garis r sejajar s berjarak ½.8 = 4 dari s, dengan s di sebelah kiri r, yaitu r: x = 3

Dipenuhi M_sM_r = S_MN 

• Buat garis t melalui P dengan sudut ½.60° = 30° dari s berlawanan arah jarum jam, dan dikarenakan garis s tegak lurus sumbu x, sudut antara garis t dengan sumbu x positif adalah 90° + 30° = 120°.

Gradien garis t sama dengan tan(120°) = −√3

t: y − 6 = −√3(x + 1)

t: √3x + y − 6 − √3 = 0

Dipenuhi M_tM_s = R_P,θ, uraikan R_P,θS_MN menjadi

R_P,θS_MN = M_tM_sM_sM_r = M_tM_r, karena r sejajar s, sudut antara r dan t sama dengan sudut antara r dan s, yaitu 30°. Karena r dan t berpotongan, komposisinya menghasilkan rotasi dengan sudut 60°, dan pusatnya adalah titik K yang merupakan perpotongan dari garis r dan t.

M_tM_r = R_K,θ 

• Potongkan garis r dan t

r: x = 3, masukkan ke persamaan garis t

3.√3 + y − 6 − √3 = 0

y = 6 − 2√3

Jadi, koordinat titik K adalah K(3, 6 − 2√3).

2. Diberikan titik A(1, 1), B(−5, −2), C(3, 4), tentukan titik D yang memenuhi R_A,90°R_B,60°(C) = R_D,150°(C), dan tentukan C' jika C' = R_D,150°(C).

• Buat garis s melalui A dan B

Gradien garis s adalah (−2 − 1)/(−5 − 1) = ½

• Buat garis r melalui B dengan sudut antara r dan s adalah ½.60° = 30° dan arahnya dari r ke s berlawanan arah jarum jam.

r: y + 2 = (8 − 5√3)(x + 5)/11

r: 11y + 22 = (8 − 5√3)x + 40 − 25√3

r: (8 − 5√3)x − 11y + 18 − 25√3 = 0

• Buat garis t melalui A dengan sudut antara s dan t adalah ½.90° = 45° dan arahnya dari s ke t berlawanan arah jarum jam.

t: y − 1 = 3(x − 1)

t: y − 1 = 3x − 3

t: 3x − y − 2 = 0

• Potongkan garis r dan t

r: (8 − 5√3)x − 11y + 18 − 25√3 = 0

t: 3x − y − 2 = 0

Keduanya membentuk SPL

(8 − 5√3)x − 11y = 25√3 − 18 (i)

3x − y = 2 (ii)

Susun ke bentuk matriks:

Selesaikan SPL untuk mendapatkan koordinat titik potongnya, diperoleh x = (5 − 3√3)/2, y = (11 − 9√3)/2, sehingga koordinat titik potongnya adalah D[(5 − 3√3)/2, (11 − 9√3)/2].

• Rotasikan titik C terhadap D dengan sudut putarnya 150°.

Bayangannya adalah C'(1 − 4√3, −1 − 3√3).

Jadi, koordinat titik D adalah D[(5 − 3√3)/2, (11 − 9√3)/2] dan C' adalah C'(1 − 4√3, −1 − 3√3).