Bantuan Integral Tentu

1. Bantuan untuk Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap

Perhatikan gambar berikut:

Fungsi genap adalah fungsi yang berlaku f(-x) = f(x) untuk setiap x anggota daerah asal f. Sifat grafik dari fungsi genap adalah simetris terhadap sumbu y.

Fungsi ganjil adalah fungsi yang berlaku f(-x) = -f(x) untuk setiap x anggota daerah asal f. Sifat grafik dari fungsi ganjil adalah simetris terhadap titik O.

Untuk fungsi genap maupun fungsi ganjil, masing-masing berlaku integral tentu sebagai berikut:

(a) Bantuan untuk fungsi genap

Dikarenakan nilai fungsi genap berlaku f(-x) = f(x), luas daerah di kanan dan di kiri sumbu y sama, berikut bantuan untuk integral tentu:

(b) Bantuan untuk fungsi ganjil

Dikarenakan nilai fungsi ganjil berlaku f(-x) = -f(x), luas daerah di kanan dan di kiri sumbu y sama tetapi berlainan tanda, berikut bantuan untuk integral tentu:

2. Bantuan untuk Fungsi Periodik

Fungsi f disebut periodik jika terdapat suatu bilangan p sedemikian sehingga f(x + p) = f(x) untuk semua x dalam domain f. Bilangan positif terkecil p disebut periode.

contoh fungsi periodik adalah fungsi trigonometri, seperti sin, cos, tan, dan lain-lain

Berikut bantuan untuk fungsi periodik:

Misal f periodik dengan p periode dari f, u = x - p, berarti x = u + p dan du = dx, berlaku:

3. Nilai rata-rata

Misal P: a = x₀ < x₁ < … < x_n = b merupakan suatu partisi tetap dengan panjang selang bagian yang sama panjang ∆x = (b - a)/n. Nilai rata-rata dari fungsi f pada n titik:

untuk n menuju tak hingga nilai rata-ratanya adalah:

Teorema: Jika f kontinu pada [a, b], maka terdapat bilangan c ∈ (a, b) sedemikian sehingga

Bukti: Misal untuk a ≤ x ≤ b didefinisikan fungsi G(x) sebagai berikut:

Ingat kembali teorema nilai rata-rata untuk turunan, yang mana ada c ∈ (a, b) sedemikian sehingga

substitusikan nilai a, b, c ke fungsi G: