Fungsi Logaritma Alam

1. Fungsi Logaritma Alam

Fungsi logaritma alam, ditulis ln x, didefinisikan sebagai:

Domain dari fungsi f(x) = ln x adalah himpunan bilangan real positif, x ∈ (0, ∞)

Perhatikan gambar berikut:

Berdasarkan definisi integral tentu, fungsi ln bernilai:

• Bernilai negatif untuk x ∈ (0, 1)

• Bernilai nol untuk x = 1

• Bernilai positif untuk x ∈ (1, ∞)

2. Turunan dari Fungsi Logaritma Alam

Berdasarkan teorema dasar kalkulus pertama, turunan dari fungsi logaritma alam adalah:

Kita juga dapat menggunakan aturan rantai, misal u = f(x) > 0, aturan rantainya sebagai berikut:

contoh:

Misal u = x² – x – 6, tentukan turunan dari ln u

3. Integral dari Fungsi f(x) = 1/x

Turunan dari ln|x| adalah 1/x

Untuk x positif sudah jelas pada pembahasan sebelumnya (karena untuk x > 0 berlaku |x| = x), bagaimana untuk x negatif?

berdasarkan definisi antiturunan, kita memperoleh integral:

kita juga dapat melakukan substitusi:

substitusi untuk fungsi linear:

contoh:

4. Sifat-Sifat Logaritma Alam

Untuk a, b > 0, r ∈ R, berlaku:

5. Grafik Fungsi Logaritma Alam

• Titik potong sumbu x, ketika y = 0, yaitu pada x = 1

• Titik potong sumbu y, tidak ada, karena x = 0 diluar domain

• Turunan pertama

Turunan dari ln x adalah 1/x, yang mana pada domainnya turunan pertama selalu positif, sehingga grafik selalu naik.

• Turunan kedua

Turunan kedua dari ln x adalah –1/x², yang mana selalu negatif, sehingga grafik selalu cekung ke bawah.

• Asimtot tegak

Asimtot tegak nya adalah x = 0

• Asimtot mendatar

Tidak ada asimtot mendatar

• Grafik

contoh soal dan pembahasan