Invers dan Kemonotonan Fungsi

1. Definisi Fungsi

Suatu relasi f dari himpunan A ke himpunan B dikatakan fungsi apabila:

(∀a ∈ A)(∃!b ∈ B) ∋ b = f(a)

Suatu relasi f dari himpunan A ke himpunan B dikatakan bukan fungsi apabila:

(∃a ∈ A) ∋ (∀b ∈ B). b ≠ f(a) ∨ (∃b₁, b₂) dengan b₁ ≠ b₂ ∋ b₁ = f(a) ∧ b₂ = f(a)

2. Invertibilitas Fungsi

Misal f relasi dari himpunan A ke himpunan B, invers dari f (ditulis f^-1) adalah relasi balikan dari himpunan B ke himpunan A.

Apakah invers dari fungsi pasti merupakan fungsi?, Tidak!. Lalu, bagaimana sifat fungsi yang invers nya juga merupakan fungsi?, fungsi tersebut harus bijektif (korespondensi satu-satu). Fungsi bijektif adalah fungsi yang bersifat surjektif (pada) dan injektif (satu-satu).

3. Fungsi Injektif (satu-satu)

Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B dikatakan injektif (satu-satu) apabila memenuhi:

(∀a ∈ A). a₁ ≠ a₂ → f(a₁) ≠ f(a₂)

Dengan kata lain, fungsi injektif (satu-satu) adalah fungsi yang setiap anggota daerah tujuan tidak ada yang berelasi dengan lebih dari satu anggota daerah asal.

Suatu fungsi dapat dipaksa untuk injektif (satu-satu) dengan cara membatasi daerah asal pada suatu interval dimana fungsi monoton naik (selalu naik, tidak pernah turun) atau monoton turun (selalu turun, tidak pernah naik).

4. Fungsi Surjektif (pada)

Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B dikatakan surjektif (pada) apabila memenuhi:

(∀b ∈ B)(∃a ∈ A) ∋ b = f(a)

Dengan kata lain, fungsi surjektif adalah fungsi yang setiap anggota daerah tujuan terdapat anggota daerah asal yang berelasi dengannya.

Suatu fungsi dapat dipaksa untuk surjektif (pada) dengan cara membatasi daerah tujuannya pada range (daerah hasil).

5. Fungsi Bijektif (korespondensi satu-satu)

Fungsi bijektif adalah fungsi injektif dan surjektif sekaligus. Invers dari fungsi bijektif pasti merupakan fungsi dan juga bijektif.

6. Fungsi Invers

Misalkan f suatu fungsi satu ke satu dengan daerah asal A dan daerah hasil B. Fungsi invers dari f (ditulis f^-1) adalah fungsi dengan daerah asal B dan daerah hasil A, yang memenuhi:

f^-1(y) = x ↔ y = f(x), ∀y ∈ B

7. Hubungan Kemonotonan dan Invers Fungsi

Jika f monoton murni pada daerah asalnya, maka f satu ke satu sehingga memiliki invers.

Terkadang suatu fungsi tidak monoton murni pada daerah asalnya, bagaimana agar memiliki invers?

Batasi daerah asalnya pada saat fungsi monoton naik atau monoton turun.

8. Grafik Fungsi Invers

Grafik invers suatu fungsi adalah pencerminan grafik fungsi terhadap garis y = x

contoh soal dan pembahasan

Misal f(x) = x² – 4x + 3, tentukan inversnya dengan membatasi daerah asal dengan tetap mempertahankan daerah hasil seluas mungkin!

• Kapan f stasioner?

f'(x) = 0

2x – 4 = 0

x = 2

f stasioner pada saat x = 2, sedangkan f naik pada:

2x – 4 > 0

x > 2

Pada x > 2 f monoton naik, dan pada x < 2 f monoton turun.

• Invers f

y = x² – 4x + 3

y = (x – 2)² – 1

(x – 2)² = y + 1

pada bentuk ini invers dari f bukan fungsi, karena nilai f^-1 tidak tunggal. Perlu dibatasi daerah asal agar f^-1 juga merupakan fungsi.

• Untuk x > 2

x – 2 > 0, pilih yang positif

• Untuk x < 2

x – 2 < 0, pilih yang negatif