Luas Permukaan Benda Putar

Perhatikan gambar berikut:

Misal diberikan suatu kerucut dengan jari-jari r₂ dan garis pelukisnya L diiris oleh bidang yang sejajar dengan alasnya, sehingga terbentuk kerucut yang lebih kecil dari kerucut awal dengan jari-jari r₁ dan garis pelukisnya (L - l). Dengan menggunakan kesebangunan:

r₂/L = r₁/(L - l)

r₂(L - l) = r₁L

Luas selimut kerucut terpancungnya adalah:

Luas selimut kerucut besar - luas selimut kerucut kecil

= πr₂L - πr₁(L - l)

= πr₂L - πr₁L + πr₁l

= πr₂L - πr₂l + πr₂l - πr₁L + πr₁l

= πr₂(L - l) + πr₂l - πr₁L + πr₁l

= πr₁L + πr₂l - πr₁L + πr₁l

= πr₂l + πr₁l

= π(r₂ + r₁)l

Selanjutnya perhatikan gambar berikut:

Misal suatu kurva diputar terhadap sumbu x, lalu dibuat partisi-partisi, sehingga luas permukaan pemutaran suatu partisi dapat diaproksimasi sebagai berikut:

Garis pelukis kerucut terpancung: Panjang kurva (∆s_i)

Jari-jari penampang: Nilai fungsi pada kedua ujung partisi f(x_i)

Misal P: a = x₀ < x₁ < … < x_n = b; ∆A_i = 2π.½[f(x_i-1) + f(x_i)].(∆s_i)

)Apabila dibuat tak hingga partisi, sehingga panjang partisi mendekati nol, nilai fungsi pada kedua ujung partisi mendekati sama, sehingga luas permukaan selimut kerucut terpancungnya mendekati luas permukaan selimut tabung, sehingga diperoleh aproksimasi berikut:

∆A ≈ 2π.y.∆s, lalu integralkan:

Rumus ini merupakan rumus luas permukaan benda putar yang terbentuk dari pemutaran kurva y = f(x) mengelilingi sumbu x, dibatasi oleh x = a, x = b.

Untuk pemutaran kurva x = f(y), c ≤ y ≤ d mengelilingi sumbu y luasnya adalah:

Untuk pemutaran kurva x = f(t), y = g(t), a ≤ t ≤ b luasnya adalah:

contoh:

Tentukan luas permukaan pemutaran kurva x = y³, 0 ≤ y ≤ 1, mengelilingi sumbu y!

x = y³, 0 ≤ y ≤ 1