Misal diberikan kurva mulus dengan x = f(t), y = g(t), a ≤ t ≤ b, bagaimana menghitung panjangnya? Panjang kurva dapat diaproksimasi dengan mempartisi interval [a, b] menjadi n subinterval:
P: a =
t0 < t1 < … < tn = b, setiap partisi dibatasi oleh titik-titik Q0,
Q1, …, Qn sebagaimana pada gambar berikut:
Apabila antar titik dihubungkan dengan segmen garis, panjang kurva pada partisi mendekati panjang segmen tersebut yang dapat ditentukan secara Pythagoras: Dari teorema nilai rata-rata untuk turunan, terdapat nilai t tertentu sedemikian sehingga: Total panjang seluruh segmen adalah:
yang menjadi permasalahan adalah nilai t istimewa untuk x dan untuk y biasanya berbeda, akan tetapi apabila dilimitkan sehingga norm P menuju 0 mengakibatkan nilai t istimewa untuk x dan untuk y akan semakin mendekati sama, hal ini dengan membuat partisi menuju tak hingga, yang dapat dinyatakan dalam bentuk integral: Untuk kurva yang diberikan dalam bentuk y = f(x), a ≤ x ≤ b tentu lebih mudah menentukan panjangnya, yaitu:
Sedangkan kurva yang diberikan dalam bentuk x = f(y), c ≤ y ≤ d juga mudah menentukan panjangnya, yaitu:
Tentukan panjang kurva dengan persamaan x = 3t2
– t, y = 3t2, 0 ≤ t ≤ 2!
Jadi, panjangnya 22 satuan.
Komentar
Posting Komentar