Peluang dan Variabel Acak

A. Ekspektasi Diskrit

Misal X variabel acak dengan distribusi peluang sebagai berikut:

ekspektasi X, dinotasikan E(X), disebut juga rerata atau mean dari X, disimbolkan μ, adalah:

ingat kembali titik berat:

jumlah seluruh peluang adalah 1, sehingga titik berat sama dengan rerata.

contoh: Dalam suatu permainan lempar dadu ditentukan poin sebagai berikut:

• Jika mata dadu yang muncul adalah 6, pelempar mendapatkan 45 poin

• Jika mata dadu yang muncul adalah bilangan genap selain 6, pelempar mendapatkan 30 poin

• Jika mata dadu yang muncul adalah bilangan ganjil, pelempar mendapatkan 15 poin

Tentukan nilai ekspektasi poin dari pelemparan dadu!

Jadi, nilai ekspektasi poin dari pelemparan dadu adalah 25 poin.

B. Ekspektasi Kontinu

1. Fungsi Kepadatan Peluang

Misal X variabel acak dengan distribusi peluang kontinu berupa fungsi.

Ketentuan tentang fungsi peluang:

• f(x) ≥ 0 untuk setiap x pada selang [A, B]

• Luas daerah di bawah kurva adalah 1

• Peluang untuk a ≤ X ≤ b

• Nilai ekspektasi

contoh:

Diberikan fungsi distribusi peluang sebagai berikut:

Tentukan nilai ekspektasi dan peluang X ≤ 3

Nilai ekspektasinya adalah 2,53

Peluang X ≤ 3 adalah 3/5 = 0,6

2. Fungsi Distribusi Kumulatif

Misal F merupakan fungsi untuk peluang kumulatif kurang dari, ditulis F(x) = P(X ≤ x).

Misal F merupakan fungsi distribusi kumulatif, dan f merupakan fungsi kepadatan peluang, berlaku:

• F'(x) = f(x)

• F(A) = 0, dan F(B) = 1

• P(a ≤ x ≤ b) = F(b) – F(a)

Diberikan fungsi distribusi peluang sebagai berikut:

Tentukan peluang X ≤ 2

C. Peluang Kontinu

Misal X variabel acak dengan distribusi peluang kontinu berupa fungsi.

Ketentuan tentang fungsi peluang kontinu:

• f(x) ≥ 0 untuk setiap x pada selang [A, B]

• Luas daerah di bawah kurva bisa berapapun, tidak harus satu. Luas daerah dibawah kurva merupakan frekuensi total.

• Frekuensi bagian

Misal A ≤ a ≤ x ≤ b ≤ B, frekuensi untuk interval [a, b] adalah:

• Peluang interval [a, b]

Peluang sama dengan frekuensi bagian dibagi frekuensi total:

D. Ukuran Pemusatan

Misal pada interval [A, B] frekuensi pada X = x adalah f(x) dengan f(x) ≥ 0 untuk setiap x pada selang [A, B]. Berikut besaran-besarannya:

• Frekuensi total

pada kasus ini integralnya tidak diharuskan sama dengan satu.

• Jumlah seluruh hasil kali suatu x dengan frekuensinya

1. Rerata

contoh:

Misal diberikan fungsi distribusi frekuensi f(x) = –x² + 2x + 3, pada interval 0 ≤ x ≤ 3, tentukan rerata!

Reratanya 5/4 = 1,25

2. Median

Untuk menentukan median, dengan menentukan pada nilai berapa, frekuensi kumulatif sama dengan setengah frekuensi total.

Misal f(x) = –x² + 2x + 3, pada interval 0 ≤ x ≤ 3, tentukan mediannya!

Mediannya 1,209

3. Modus

Untuk menentukan modus, dengan menentukan pada x berapa, nilai fungsi mencapai maksimum.

• Cek kedua ujung interval, karena bisa jadi modusnya terletak pada salah satu dari kedua ujung interval

• Cek ketika turunannya nol, bisa jadi modusnya terletak pada x dimana f'(x) = 0

• Pilih yang menghasilkan f(x) terbesar

Misal f(x) = –x² + 2x + 3, pada interval 0 ≤ x ≤ 3, tentukan modusnya!

Modusnya 1

E. Ukuran Letak

1. Kuartil

Untuk menentukan kuartil ke-i, tentukan x dimana frekuensi kumulatif sama dengan i/4 frekuensi total.

contoh: Misal diberikan f(x) = 2x + 3 pada interval [0, 5], tentukan kuartil 1 dan kuartil 3

Jadi, kuartil 1 nya 2 dan kuartil ke-3 nya 4,1789

2. Desil

Untuk menentukan desil ke-i, tentukan x dimana frekuensi kumulatif sama dengan i/10 frekuensi total.

Misal diberikan f(x) = 2x + 3 pada interval [0, 5], tentukan desil 1 dan desil 7

Jadi, desil 1 nya 1 dan desil ke-7 nya 4

3. Persentil

Untuk menentukan persentil ke-i, tentukan x dimana frekuensi kumulatif sama dengan i/100 frekuensi total.

Misal diberikan f(x) = 2x + 3 pada interval [0, 5], tentukan persentil ke-45

Jadi, persentil ke-45 nya 3

F. Ukuran Penyebaran

1. Jangkauan

Untuk sebarang fungsi pada interval [A, B] menghitung jangkauan sangat mudah, yaitu panjang keseluruhan interval, yaitu J = B – A

2. Simpangan Rerata atau Rerata Deviasi

Pada umumnya deviasi untuk setiap x adalah |x – 𝜇|, dikarenakan frekuensi pada setiap titik berbeda, momen deviasi pada satu titik adalah f(x)|x – 𝜇|, sehingga total momen deviasi adalah:

Dikarenakan nilai mutlak, dibagi partisi untuk positif dan negatifnya.

Rerata deviasi sama dengan total momen deviasi dibagi frekuensi total:

3. Variansi dan Deviasi Baku

Variansi adalah rerata kuadrat deviasi, sedangkan deviasi baku adalah akar dari variansi. Total momen kuadrat deviasinya adalah:

Variansi sama dengan total momen kuadrat deviasi dibagi frekuensi total:

Deviasi baku (𝜎) sama dengan akar dari variansi.

4. Bilangan Baku

Bilangan baku menyatakan seberapa jauh simpangan suatu nilai dari reratanya.

• Bilangan baku bernilai negatif untuk x < 𝜇

• Bilangan baku bernilai nol untuk x = 𝜇

• Bilangan baku bernilai positif untuk x > 𝜇

5. Koefisien Variansi

Koefisien variansi menyatakan seberapa menyebarnya data dari reratanya.

G. Bentuk Kurva (Kemiringan dan Keruncingan)

1. Kemiringan (Skewness)

Kemiringan menunjukkan arah ekor panjang, apakah di kanan atau di kiri.

• Kemiringan negatif, ekor memanjang ke kiri, dimana:

Mean < Median < Modus

• Kemiringan nol, bagian kanan dan kiri seimbang, dimana:

Mean = Median = Modus

• Kemiringan positif, ekor memanjang ke kanan, dimana:

Modus < Median < Mean

Untuk menentukan kemiringan terdapat beberapa rumus:

• Rumus Pearson, dengan membandingkan mean dan modus

Rumus Pearson ini kemiringan sama dengan Mean dikurangi Modus dibagi deviasi baku.

• Rumus Bowleys, dengan kuartil

2. Keruncingan (Kurtosis)

• Platikurtik: Kurva landai

• Mesokurtik: Kurva tidak terlalu landai, tidak terlalu runcing

• Leptokurtik: Kurva runcing

Untuk menentukan keruncingan digunakan rumus kuartil dan desil:

Berapa standar keruncingan mesokurtik?

• Platikurtik: Keruncingan kurang dari 0,263

• Mesokurtik: Keruncingan sama dengan 0,263

• Leptokurtik: Keruncingan lebih dari 0,263