Persamaan Garis Menengah Ellips

1. Persamaan Garis Menengah Ellips yang Berpusat di O(0, 0)

Perhatikan gambar berikut:

Garis menengah ellips adalah tempat kedudukan titik-titik tengah tali-tali busur yang sejajar.

• Misalkan persamaan tali busur y = mx + n

• Potongkan tali busur dengan ellips

b²x² + a²(mx + n)² = a²b²

b²x² + a²(m²x² + 2mnx + n²) – a²b² = 0

b²x² + a²m²x² + 2a²mnx + a²n² – a²b² = 0

(b² + a²m²)x² + 2a²mnx + a²n² – a²b² = 0

• Misalkan A(x₀, y₀) adalah titik yang memenuhi, berarti A pada tali busur, sehingga dipenuhi

y₀ = mx₀ + n (i)

• A titik tengah dari kedua titik potong tali busur dengan ellips, sehingga:

Substitusikan x₀ ke (i)

2. Persamaan Garis Menengah Ellips yang Berpusat di M(α, β)

Ingat kembali pergeseran sumbu, misal sumbu awal yang berpusat di O(0, 0) digeser ke M(α, β), koordinat baru untuk titik P adalah P'(x₁', y₁'), dengan x₁' = x₁ – α, y₁' = y₁ – β, sehingga persamaan garis menengah barunya adalah:

contoh soal dan pembahasan

Tentukan persamaan talibusur ellips 2x² + 3y² + 4x – 6y – 7 = 0 yang terbagi dua oleh titik B(1,0)

2x² + 3y² + 4x – 6y – 7 = 0

2(x² + 2x) + 3(y² – 2y) = 7

2((x + 1)² – 1) + 3((y – 1)² – 1) = 7

2(x + 1)² – 2 + 3(y – 1)² – 3 = 7

2(x + 1)² + 3(y – 1)² = 12, buat ruas kanan sama dengan 1

• Persamaan tali busur melalui B(1, 0)

y = m(x – 1)

• Persamaan garis menengah

• Persamaan garis menengah melalui B(1, 0)

• Masukkan m ke persamaan tali busur

3y = 4(x – 1)

3y = 4x – 4

4x – 3y – 4 = 0