Persamaan Garis Singgung Hiperbola

1. Persamaan garis singgung hiperbola di titik P(x₁, y₁) pada hiperbola yang berpusat di O(0, 0)

• Titik P(x₁, y₁) terletak pada hiperbola sehingga dipenuhi b²x₁² – a²y₁² = a²b².

• Persamaan garis melalui P(x₁, y₁) bergradien m adalah:

y – y₁ = m(x – x₁)

y = mx – mx₁ + y₁ (i)

• Garis tersebut memotong hiperbola, sehingga berlaku:

b²x² – a²(mx – mx₁ + y₁)² = a²b²

b²x² – a²(m²x² + x₁² + y₁² – 2m²xx₁ + 2mxy₁ – 2mx₁y₁) = a²b²

b²x² – a²m²x² – a²x₁² – a²y₁² + 2a²m²xx₁ – 2a²mxy₁ + 2ma²x₁y₁ = a²b²

(b² – a²m²)x² + (2a²m²x₁ – 2a²my₁)x + 2ma²x₁y₁ – a²x₁² – a²y₁² = 0

garis tersebut memotong di satu titik (akarnya kembar), yaitu pada P(x₁, y₁), sehingga:

masukkan m ke persamaan garis:

2. Persamaan garis singgung hiperbola di titik P(x₁, y₁) pada hiperbola yang berpusat di M(α, β)

Misal suatu hiperbola berpusat di O(0, 0) digeser ke M(α, β), pergeseran sumbu ini mengubah:

x = x' + α, dan y = y' + β

x' = x - α, dan y' = y - β, sehingga persamaan garis singgungnya:

3. Persamaan garis singgung hiperbola yang berpusat di O(0, 0) bergradien m

• Misal persamaan garis singgung hiperbola b²x² – a²y² = a²b² adalah y = mx + n

• Potongkan garis y = mx + n pada hiperbola, diperoleh:

b²x² – a²(mx + n)² = a²b²

b²x² – a²(m²x² + 2mnx + n²) – a²b² = 0

b²x² – a²m²x² – 2a²mnx – a²n² – a²b² = 0

(b² – a²m²)x² – 2a²mnx – a²n² – a²b² = 0

Agar menyinggung di satu titik diharuskan diskriminannya nol

(–2a²mn)² – 4(b² – a²m²)(–a²n² – a²b²) = 0

4a⁴m²n² – 4(–b²a²n² – a²b⁴ + a⁴m²n² + a⁴m²b²) = 0

a²m²n² – (–b²n² – b⁴ + a²m²n² + a²m²b²) = 0

a²m²n² + b²n² + b⁴ – a²m²n² – a²m²b² = 0

b²n² + b⁴ – a²m²b² = 0

n² + b² – a²m² = 0

n² = a²m² – b², sehingga persamaan garis singgungnya:

4. Persamaan garis singgung hiperbola yang berpusat di M(α, β) bergradien m

Misal suatu hiperbola berpusat di O(0, 0) digeser ke M(α, β), pergeseran sumbu ini mengubah:

x = x' + α, dan y = y' + β

x' = x - α, dan y' = y - β, sehingga persamaan garis singgungnya: