Sketsa Grafik Kurva

Suatu kurva rata (kurva yang seluruhnya terletak pada bidang) dapat ditentukan oleh sepasang persamaan parameter:

x = f(t), y = g(t), a ≤ t ≤ b, dengan t merupakan parameter, dan f, g kontinu pada [a, b]

Sebuah kurva rata disebut mulus apabila kurva itu ditentukan oleh persamaan-persamaan x = f(t), y = g(t), a ≤ t ≤ b, dengan ketentuan bahwa turunan-turunan f' dan g' adalah kontinu pada [a, b] sedangkan f'(t) dan g'(t) tidak bersama-sama nol di selang [a,b].

Lalu bagaimana menggambar sketsa grafik kurva?

x = f(t), y = g(t), misal y = F(x)

y = F(f(t))

g(t) = F(f(t))

g'(t) = F'(f(t)).f'(t)

F'(f(t)) = g'(t)/f'(t)

Jadi, turunan pertama y terhadap x adalah:

turunan pertama y terhadap x ini dapat digunakan untuk menentukan kapan kurva naik dan kapan kurva turun.

Sedangkan turunan keduanya:

turunan kedua y terhadap x ini dapat digunakan untuk menentukan kapan kurva cekung ke bawah dan kapan kurva cekung ke atas.

contoh:

Gambarkan sketsa grafik kurva dengan persamaan:

x = 2t² – t – 3, y = t² – 3t + 2, –1 ≤ t ≤ 2

(i) Titik potong sumbu x

Kurva memotong sumbu x ketika y = 0

t² – 3t + 2 = 0

(t – 1)(t – 2) = 0

t = 1 ∨ t = 2

untuk t = 1 ⇒ x = 2.1² – 1 – 3 = –2

untuk t = 2 ⇒ x = 2.2² – 2 – 3 = 3

Jadi, kurva memotong sumbu x pada titik (–2, 0) dan (3, 0)

(ii) Titik potong sumbu y

Kurva memotong sumbu y ketika x = 0

2t² – t – 3 = 0

(2𝑡 − 3)(𝑡 + 1)

𝑡 = 3/2 ∨ 𝑡 = −1

untuk t = 3/2 ⇒ y = (3/2)² – 3(3/2) + 2 = −1/4

untuk 𝑡 = −1 ⇒ y = (−1)² – 3(−1) + 2 = 6

Jadi, kurva memotong sumbu y pada titik (0, −1/4) dan (0, 6)

(iii) Turunan pertama

Kapan kurva naik?

Ketika turunan pertama positif, yaitu ketika pembilang dan penyebut positif bersama, atau ketika negatif bersama, yaitu ketika t < 1/4 ∨ t > 3/2

Kurva turun ketika 1/4 < t < 3/2

Kurva stasioner ketika t = 1/4 ∨ t = 3/2

Untuk t = 1/4:

x = 2(1/4)² – 1/4 – 3 = –25/8, y = (1/4)² – 3(1/4) + 2 = 21/16, titik (–25/8, 21/16)

Untuk t = 3/2:

Kebetulan titik ini merupakan titik potong sumbu y, yaitu pada titik (0, −1/4)

(iv) Turunan kedua

Pembilang dari turunan kedua ini bilangan positif, sehingga kita cukup fokus pada penyebut.

Turunan keduanya positif ketika t > 1/4, negatif ketika t < 1/4, tidak terdefinisi ketika t = 1/4

Kurva cekung ke atas ketika t > 1/4

Kurva cekung ke bawah ketika t < 1/4

Kurva belok ketika t = 1/4

Berikut sketsa grafik kurva: