Teorema Pappus - Guldin

1. Teorema Pappus - Guldin I

Teorema ini berbunyi: "Jika suatu daerah R pada bidang diputar mengelilingi sebuah garis pada bidang tersebut yang tidak memotong R, maka volume benda putar yang terbentuk sama dengan luas daerah R dikali keliling lingkaran yang ditempuh oleh pusat massa R."

Perhatikan gambar berikut:

Misal ada suatu daerah diputar terhadap sumbu miring, bagaimana menghitung volumenya? akan terasa sulit bukan?. Tenang saja Sixtyfourians, disini Minfor akan menjelaskan cara mudah untuk menghitung volume benda putar yang terbentuk dari pemutaran daerah terhadap sumbu miring, yaitu menggunakan teorema Pappus-Guldin I.

Teorema ini digunakan untuk menentukan volume benda putar terutama yang bersumbu miring. Volume benda putar ditentukan berdasarkan luas daerah dan titik berat.

V = 2π.A.d

V: Volume benda putar yang terbentuk dari pemutaran daerah terhadap suatu sumbu putar

A: Luas daerah

d: Jarak dari titik berat daerah menuju sumbu putar

contoh: Suatu daerah dibatasi oleh garis y = –x² – 3x + 6 dan y = 3 – x, diputar terhadap garis y = 3 – x, tentukan volume benda putarnya!

Dari informasi yang diberikan, belum disebutkan batas-batasnya secara tersurat, kita dapat menentukan secara tersirat:

–x² – 3x + 6 = 3 – x

–x² – 2x + 3 = 0

–(x + 3)(x – 1) = 0

x = – 3 ∨ x = 1

Luas daerah sudah diperoleh, mari kita tentukan momen dan massa.

Anggap kepadatannya 1, massa sama dengan luas daerah, ditulis m = A

titik beratnya adalah:

jarak dari titik berat ke sumbu putar:

volumenya adalah:

2. Teorema Pappus - Guldin II

Teorema ini berbunyi: "Jika suatu kurva Q pada bidang diputar mengelilingi sebuah garis pada bidang tersebut yang tidak memotong Q, maka luas permukaan benda putar yang terbentuk sama dengan panjang kurva Q dikali keliling lingkaran yang ditempuh oleh pusat massa Q."

Misal ada suatu kurva diputar terhadap sumbu miring, bagaimana menghitung luas permukaannya? akan terasa sulit bukan?. Tenang saja Sixtyfourians, disini Minfor akan menjelaskan cara mudah untuk menghitung luas permukaan benda putar yang terbentuk dari pemutaran kurva terhadap sumbu miring, yaitu menggunakan teorema Pappus-Guldin II.

Teorema ini digunakan untuk menentukan luas permukaan benda putar terutama yang bersumbu miring. Luas permukaan benda putar ditentukan berdasarkan panjang kurva dan titik berat.

A = 2π.s.d

A: Luas permukaan benda putar yang terbentuk dari pemutaran kurva terhadap suatu sumbu putar

s: Panjang kurva

d: Jarak dari titik berat daerah menuju sumbu putar

contoh: Suatu donat merupakan hasil pemutaran lingkaran berpusat di (2, 0) berjari-jari 1 terhadap sumbu y. Tentukan luas permukaan donat tersebut!

s = 2πr = 2π

d = 2

A = 2π.2π.2 = 8π² satuan