Titik Berat (Kalin)

A. Distribusi Massa Diskrit

Perhatikan gambar berikut:

Suatu papan berada diatas penyangga, fulcrum (titik tumpu) dari papan jungkat-jungkit adalah bagian yang bertepatan dengan penyangga. Misal pada bagian kiri dan kanan masing-masing diberikan benda A dan B dengan massa A m₁ adalah dan massa B adalah m₂. Diasumsikan percepatan gravitasinya sama, tentunya beratnya akan sama juga. Misalkan jarak dari fulcrum ke A adalah d₁ dan jarak dari fulcrum ke B adalah d₂. Bentuk persamaan keseimbangan jungkat-jungkit adalah:

d₁w₁ = d₂w₂ ↔ d₁m₁g₁ = d₂m₂g₂, dan dikarenakan percepatan gravitasinya sama masing-masing ruas dapat dibagi dengan percepatan gravitasi, sehingga persamaannya menjadi:

m₁d₁ = m₂d₂ = angka keseimbangan.

Misal dibuat koordinat untuk masing-masing benda, koordinat untuk benda A adalah x₁ = −d₁, koordinat untuk benda B adalah x₁ = d₂, koordinat untuk fulcrum adalah 0. Untuk mencapai keseimbangan diharuskan memenuhi persamaan berikut:

x₁m₁ + x₂m₂ = 0

Hasil kali massa suatu partikel dengan jarak berarah dari suatu titik (lengan tuas) disebut momen partikel terhadap titik, secara umum dirumuskan:

M = x.m

M: Momen partikel terhadap titik (m.kg)

x: Jarak berarah partikel dari titik (m)

m: Massa partikel (kg)

Perlu diketahui bahwa nilai momen bisa negatif karena jarak berarah partikel bisa negatif. Untuk partikel di sebelah kiri fulcrum momen bernilai negatif, sedangkan partikel di sebelah kanan fulcrum momen bernilai positif.

Apabila terdapat lebih dari satu partikel, momen keseluruhannya adalah jumlah momen masing-masing partikel. Keseimbangan terjadi ketika momen keseluruhannya bernilai nol.

M = x₁m₁ + x₂m₂ + ... + x_nm_n, keseimbangan terjadi ketika M = 0

Misal fulcrum dapat dipindahkan, nilai momennya akan berubah-ubah. Pada suatu titik tertentu, nilai momen sama dengan nol, titik ini disebut sebagai titik berat.

Ketika jumlah seluruh momennya nol, fulcrum terletak pada jumlah seluruh hasil kali koordinat dengan massa dibagi jumlah seluruh massa.

contoh: Misal pada titik 0, 1, 2, 3, 4 masing-masing terdapat partikel dengan massa 4, 2, 6, 1, 7 kilogram, tentukan letak titik beratnya!

M = 0.4 + 1.2 + 2.6 + 3.1 + 4.7 = 45

m = 4 + 2 + 6 + 1 + 7 = 20

x = M/m = 45/20 = 2,25

Jadi, titik beratnya terletak pada x = 2,25

B. Distribusi Massa Kontinu

Perhatikan gambar berikut:

Misal pada selang [a, b] terdistribusi partikel secara kontinu, kita dapat mengaproksimasi massa dan momen pada setiap titik sebagai berikut:

∆m ≈ δ(x).∆x, dengan δ(x) merupakan kepadatan pada suatu titik

∆M ≈ x.δ(x).∆x, dengan δ(x) merupakan kepadatan pada suatu titik

sehingga dapat diintegralkan sebagai berikut:

contoh: Misal untuk setiap titik pada selang [0, 6] distribusi kepadatannya adalah δ(x) = 2x + 1, tentukan titik berat selang tersebut!

Jadi, titik beratnya terletak pada x = 3,857

C. Distribusi Massa pada Bidang

Perhatikan gambar berikut:

Misal diberikan n partikel dengan massa dari masing-masing partikel adalah m₁, m₂, ..., m_n dan masing-masing terletak pada titik (x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (x_n, y_n). Total momen terhadap sumbu-y dan sumbu-x adalah:

sedangkan koordinat untuk titik beratnya adalah:

contoh: Misal pada titik-titik (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 2), (2, 1) masing-masing terdapat partikel dengan massa 1, 3, 6, 2, 4 kilogram. Tentukan koordinat titik beratnya!

m = 1 + 3 + 6 + 2 + 4 = 16kg

M_y = 0.1 + 0.3 + 1.6 + 1.2 + 2.4 = 16

M_x = 0.1 + 1.3 + 0.6 + 2.2 + 1.4 = 11

x = M_y/m = 16/16 = 1

y = M_x/m = 11/16

Koordinat titik beratnya (1, 11/16)

Misal diberikan suatu daerah homogen (kepadatan rata) yang dibatasi oleh x = a, x = b, y = f(x), y = g(x) dengan g(x) ≤ f(x). Potong daerah tersebut menjadi potongan-potongan sejajar sumbu y, bentuknya mendekati persegi panjang sebagaimana pada gambar berikut:

massa dan momennya dapat diaproksimasi sebagai berikut:

∆m ≈ δ[f(x) − g(x)]∆x

∆M_y ≈ xδ[f(x) − g(x)]∆x

∆M_x ≈ ½δ[f(x) + g(x)][f(x) − g(x)] = ½δ[(f(x))² − (g(x))²]∆x

Integralkan sehingga diperoleh:

Untuk menentukan titik berat, dikarenakan pada pembilang dan penyebut masing-masing terdapat δ, kita dapat menyederhanakan bentuk dengan menghilangkan δ dari masing-masing.

contoh: Tentukan titik berat dari daerah yang dibatasi oleh kurva y = x³ dan y = √x.

Dari informasi yang diberikan, pembatas belum disebutkan secara tersurat, kita dapat menentukannya secara tersirat:

x³ = √x

x⁶ = x

x⁶ − x = 0

x(x − 1)(x⁴ + x³ + x² + x + 1)

x = 0 ∨ x = 1

Anggap δ = 1, kita dapat menentukan momen, massa kemudian titik berat: