Volume Benda Putar

Perhatikan gambar berikut:

Pada umumnya, volume prisma dirumuskan sebagai luas alas kali tinggi (V = A.h). Begitu juga dengan limas yang mana volumenya sepertiga volume prisma. Lalu bagaimana dengan bentuk lain?

Perhatikan gambar berikut:

1. Potong

Buat potongan-potongan untuk dihitung volumenya, yang mana setiap potongan memiliki bentuk yang mendekati prisma.

2. Aproksimasi

Perkirakan volume masing-masing potongan, volume setiap potongan adalah luas penampang dikali ketebalan potongan.

∆V ≈ A(x).∆x

Semakin banyak potongan, jumlah volumenya semakin mendekati volume sebenarnya.

3. Integralkan

Untuk benda putar, bentuk masing-masing potongan akan mendekati tabung. Sehingga aproksimasi untuk volumenya adalah ∆V ≈ 𝜋[𝑓(𝑥)]².∆𝑥, sehingga pengintegralan untuk menghitung volumenya:

Pengintegralan ini dipakai untuk menghitung volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = f(x), garis x = a, x = b, diputar mengelilingi sumbu x.

Bagaimana untuk menghitung volume benda putar untuk kasus lain? terdapat beberapa metode yang dapat digunakan, yaitu:

A. Metode cakram

Metode ini dengan mengambil potongan berbentuk cakram tanpa lubang. Dikarenakan cakramnya berbentuk tabung tipis tanpa lubang, volumenya dapat diaproksimasi dengan:

∆V ≈ 𝜋r².∆𝑥, dengan jari-jari jarak dari sumbu putar menuju kurva, dan tinggi tabung sama dengan ketebalan cakram.

contoh:

Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh garis y = x³, sumbu y, sumbu x, garis y = 8, diputar terhadap sumbu y!

1. Potong
Potongan metode cakram tegak lurus dengan sumbu putar.

2. Aproksimasi

y = x² ↔ x = y^1/3, sehingga perkiraan volumenya ∆V ≈ 𝜋(y^1/3)².∆y ≈ 𝜋.y^2/3.∆y

3. Integralkan

Batas-batas pengintegralannya adalah sumbu x (y = 0), y = 8, berikut pengintegralannya:

B. Metode Cincin (Metode Washers)

Metode ini dengan mengambil potongan berbentuk cincin berlubang. Dikarenakan cincinnya berbentuk tabung tipis berlubang, volumenya dapat diaproksimasi dengan:

∆V ≈ 𝜋(r₂² – r₁²).∆𝑥

Potongan metode ini tegak lurus dengan sumbu putar.

contoh:

Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x², y² = 8x, diputar mengelilingi sumbu x

1. Potong
Potongan metode cincin tegak lurus dengan sumbu putar

2. Aproksimasi

Jari-jari besar: y² = 8x ↔ y = √(8x)

Jari-jari kecil: y = x²

Ketebalan cincin: ∆x

∆V ≈ 𝜋[(√(8x))² – (x²)²].∆x ≈ 𝜋(8x – x⁴).∆x

3. Integralkan

Dari informasi yang diberikan, belum disebutkan batas-batasnya secara tersurat, tetapi dapat kita tentukan batas-batasnya secara tersirat:

sehingga kita dapat menghitung volumenya:

C. Metode Kulit Tabung (Method of Shells)

Gambaran untuk kulit tabung yang dibentangkan:

Suatu kulit tabung yang sangat tipis dapat dibentangkan sehingga membentuk balok yang sangat tipis. Panjang balok mendekati keliling penampang tabung, lebar balok mendekati ketebalan kulit tabung, tinggi balok sama dengan tinggi tabung.

Gambaran untuk metode kulit tabung pada grafik fungsi:

Aproksimasi volume benda putar yang dibatasi oleh y = f(x), sumbu x, garis x = a, x = b, diputar mengelilingi sumbu y:

Jari-jari penampang: x

Tinggi tabung: f(x)

Ketebalan kulit: ∆x

∆V ≈ 2𝜋x.f(x).∆x

Aproksimasi volume benda putar yang dibatasi oleh y = f(x), y = g(x), garis x = a, x = b, diputar mengelilingi sumbu y:

Jari-jari penampang: x

Tinggi tabung: f(x) - g(x)

Ketebalan kulit: ∆x

∆V ≈ 2𝜋x[f(x) - g(x)]∆x

contoh:

Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = –x² + x, sumbu x, diputar terhadap garis x = 2.

1. Potong

Potongan metode kulit tabung sejajar dengan sumbu putar.

2. Aproksimasi

Jari-jari penampang: 2 – x

Tinggi tabung: –x² + x

Ketebalan kulit: ∆x

∆V ≈ 2𝜋(2 – x)(–x² + x)∆x

3. Integralkan

Dari informasi yang diberikan, belum disebutkan batas-batasnya secara tersurat, tetapi dapat kita tentukan batas-batasnya secara tersirat:

Titik potong –x² + x dengan sumbu x:

–x² + x = 0

–x(x – 1)

x = 0 ∨ x = 1

sehingga kita dapat menghitung volumenya:

Sekali lagi ingat bahwa arah potongan metode cakram dan cincin tegak lurus dengan sumbu putar, sedangkan arah potongan metode kulit tabung sejajar dengan sumbu putar.

Contoh soal dan pembahasan

Diberikan suatu daerah R dibatasi oleh sumbu x, sumbu y, kurva y = –x² + 2x + 3, tentukan:

1. Luas daerah R

Daerah R dibatasi oleh sumbu y, yang mana x = 0

R memotong sumbu x di:

–x² + 2x + 3 = 0

–(x + 1)(x – 3) = 0

x = –1(TM) ∨ x = 3

Luasnya adalah:

Jadi, luas daerah R adalah 9 satuan.

2. Volume benda putar yang terbentuk dari pemutaran R terhadap:

a) Sumbu x

Pada kasus ini dapat digunakan metode cakram, dengan aproksimasi berikut:

Ketebalan cakram: ∆x

Jari-jari cakram: –x² + 2x + 3
∆V ≈ 𝜋(–x² + 2x + 3)².∆x

Integralkan untuk menghitung volumenya:

b) Sumbu y

Pada kasus ini digunakan metode kulit tabung, dengan aproksimasi berikut:

Jari-jari penampang: x

Tinggi tabung: –x² + 2x + 3

Ketebalan kulit: ∆x

∆V ≈ 2𝜋x(–x² + 2x + 3)∆x

Integralkan untuk menghitung volumenya:

c) Garis y = –1

Pada kasus ini gunakan metode cincin, dengan aproksimasi berikut:

Jari-jari besar (utama): –x² + 2x + 3 + 1 = –x² + 2x + 4

Jari-jari kecil (lubang): –1

Ketebalan cincin: ∆x

∆V ≈ 𝜋((–x² + 2x + 4)² – (–1)²).∆x ≈ 𝜋((–x² + 2x + 4)² – 1).∆x

Integralkan untuk menghitung volumenya:

d) Garis x = 4

Pada kasus ini digunakan metode kulit tabung, dengan aproksimasi berikut:

Jari-jari penampang: 4 – x

Tinggi tabung: –x² + 2x + 3

Ketebalan kulit: ∆x

∆V ≈ 2𝜋(4 – x)(–x² + 2x + 3)∆x

Integralkan untuk menghitung volumenya: