Fungsi Invers Trigonometri, Turunan, Integral

1. Pembatasan Domain

Agar suatu fungsi memiliki invers yang juga merupakan fungsi, terkadang diperlukan pembatasan domain, yaitu pada daerah dimana nilai fungsi monoton naik atau monoton turun. Untuk kasus ini pada kasus fungsi trigonometri, pada kuadran I semua positif, sehingga kuadran I pasti menjadi domain, tinggal kuadran II atau kuadran IV yang dijadikan domainnya.

2. Invers Fungsi Sinus

Domain default dari fungsi sinus adalah seluruh bilangan real. Pada kuadran IV nilai fungsi sinus negatif, dan pada kuadran I nilai fungsi sinus positif, sehingga domainnya dibatasi pada x ∈ [-π/2, π/2], sedangkan range nya adalah y ∈ [-1, 1]. Apabila diinverskan akan bertukar domain dan range nya.

f(x) = y = sin x

domain: [-π/2, π/2]

range: [-1, 1]

Turunan dari fungsi invers sinus adalah:

dengan x ∈ [-1, 1]

3. Invers Fungsi Kosinus

Domain default dari fungsi kosinus adalah seluruh bilangan real. Pada kuadran I nilai fungsi kosinus positif, dan pada kuadran II nilai fungsi kosinus negatif, sehingga domainnya dibatasi pada x ∈ [0, π], sedangkan range nya adalah y ∈ [-1, 1]. Apabila diinverskan akan bertukar domain dan range nya.

f(x) = y = cos x

domain: [0, π]

range: [-1, 1]

Turunan dari fungsi invers kosinus adalah:

dengan x ∈ [-1, 1]

4. Invers Fungsi Tangen

Domain default dari fungsi tangen adalah seluruh bilangan real kecuali pada kelipatan ganjil dari π/2, dinyatakan sebagai:

Pada kuadran IV nilai fungsi tangen negatif, dan pada kuadran I nilai fungsi tangen positif, sehingga domainnya dibatasi pada x ∈ (-π/2, π/2), sedangkan range nya adalah y ∈ (-∞, ∞). Apabila diinverskan akan bertukar domain dan range nya.

f(x) = y = tan x

domain: (-π/2, π/2)

range: (-∞, ∞)

Turunan dari fungsi invers tangen adalah:

5. Invers Fungsi Kotangen

Domain default dari fungsi kotangen adalah seluruh bilangan real kecuali kelipatan π, dinyatakan sebagai:

Pada kuadran I nilai fungsi kotangen positif, dan pada kuadran II nilai fungsi kotangen negatif, sehingga domainnya dibatasi pada x ∈ (0, π), sedangkan range nya adalah y ∈ (-∞, ∞). Apabila diinverskan akan bertukar domain dan range nya.

f(x) = y = cot x

domain: (0, π)

range: (-∞, ∞)

Turunan dari fungsi invers kotangen adalah:

6. Invers Fungsi Sekan

Domain default dari fungsi sekan adalah seluruh bilangan real kecuali pada kelipatan ganjil dari π/2, dinyatakan sebagai:

Pada kuadran I nilai fungsi sekan positif, dan pada kuadran II nilai fungsi sekan negatif, sehingga domainnya dibatasi pada x ∈ [0, π/2) ∪ (π/2, π], sedangkan range nya adalah y ∈ (-∞, -1] ∪ [1, ∞). Apabila diinverskan akan bertukar domain dan range nya.

f(x) = y = sec x

domain: [0, π/2) ∪ (π/2, π]

range: (-∞, -1] ∪ [1, ∞)

Turunan dari fungsi invers sekan adalah:

dengan |x| > 1

7. Invers Fungsi Kosekan

Domain default dari fungsi sinus adalah seluruh bilangan real kecuali kelipatan π, dinyatakan sebagai:

Pada kuadran IV nilai fungsi kosekan negatif, dan pada kuadran I nilai fungsi kosekan positif, sehingga domainnya dibatasi pada x ∈ [-π/2, 0) ∪ (0, π/2], sedangkan range nya adalah y ∈ (-∞, -1] ∪ [1, ∞). Apabila diinverskan akan bertukar domain dan range nya.

f(x) = y = csc x

domain: [-π/2, 0) ∪ (0, π/2]

range: (-∞, -1] ∪ [1, ∞)

Turunan dari fungsi invers kosekan adalah:

dengan |x| > 1

8. Integral Invers Trigonometri

Sebagaimana telah dibahas turunannya, proses balik darinya adalah integral berikut:

bisa juga sebagai berikut: