Fraksi Parsial (Integral Fungsi Rasional)

Misal

, dengan P, Q merupakan polinom dan deg(P) ≤ deg(Q), dapat dinyatakan dengan:

, dengan F₁(x), F₂(x), ..., F_n(x) merupakan fungsi-fungsi rasional dalam bentuk  ataupun , 

dengan (ax + b)^m maupun (ax² + bx + c)^m merupakan faktor-faktor dari Q(x) dan (ax² + bx + c)^m tidak dapat difaktorkan lagi. Apa yang dimaksud dengan tidak dapat difaktorkan lagi? yaitu bentuk kuadrat dengan diskriminan (D = b² – 4ac) yang bernilai negatif.

Pertanyaan lagi, apakah ada bentuk kubik, kuartik, kuintik, dst yang tidak dapat difaktorkan? Tidak ada!. Semua polinom yang seluruh koefisiennya bilangan real, pasti dapat difaktorkan menjadi faktor-faktor linier dan faktor-faktor kuadrat. Faktor-faktor linier untuk solusi-solusi real, sedangkan faktor-faktor kuadrat yang tidak dapat difaktorkan lagi untuk solusi-solusi kompleks. Karena agar seluruh koefisien polinom berupa bilangan real, diharuskan untuk setiap solusi kompleks, konjugatnya juga merupakan solusi, sehingga ketika dikalikan menjadi bentuk kuadrat yang tidak dapat difaktorkan lagi.

F₁(x) + F₂(x) + ... + F_n(x) disebut dekomposisi fraksi parsial dari fungsi rasional f(x), dan F₁(x), F₂(x), ..., F_n(x) disebut fraksi-fraksi parsial dari fungsi rasional f(x).

Untuk setiap faktor dalam bentuk (ax + b)^m, komposisi fraksi parsial memuat jumlah dari m fraksi parsial , dengan A₁, A₂, ..., A_m konstanta yang akan dicari. Untuk kasus m = 1 hanya suku pertama dalam jumlah tersebut yang muncul.

Untuk setiap faktor dalam bentuk (ax² + bx + c)^m, komposisi fraksi parsial memuat jumlah dari m fraksi parsial, dengan A₁, A₂, ..., A_m, B₁, B₂, ..., B_m, konstanta yang akan dicari. Untuk kasus m = 1 hanya suku pertama dalam jumlah tersebut yang muncul.

Contoh soal dan pembahasan

pada awalnya diberikan integral trigonometri, ketika diambil substitusi terbentuk fungsi rasional, kita dapat melakukan dekomposisi fraksi parsial sebagai berikut:

samakan penyebut menjadi:

dikarenakan kedua ruas berpenyebut sama, tentunya pembilangnya juga sama, sehingga berlaku:

Au(3 + 2u) + B(3 + 2u) + Cu² = 1, untuk setiap u

cari masing-masing A, B, dan C

untuk u = 0:

A.0.(3 + 2.0) + B(3 + 2.0) + C.0² = 1

3B = 1

B = ⅓

untuk u = -3/2:

(-3/2)A.0 + B.0 + (9/4)C = 1

(9/4)C = 1

C = 4/9

untuk u = 1:

A.1.(3 + 2.1) + B(3 + 2.1) + C.1² = 1

5A + 5B + C = 1

5A + 5/3 + 4/9 = 1

5A + 19/9 = 1

5A = 1 - 19/9 = -10/9

A = (-10/9)/5 = -2/9

telah diperoleh nilai A, B, C, masukkan ke dekomposisi fraksi parsial