Barisan Tak Hingga

Suatu barisan a₁, a₂, a₃, ... adalah susunan bilangan real yang teratur, satu untuk setiap bilangan bulat positif. Secara lebih formal, barisan tak hingga adalah suatu fungsi yang domainnya adalah himpunan bilangan bulat positif dan rangenya adalah himpunan bilangan real. Kita dapat menyatakan suatu barisan dengan

1, 4, 7, 10, 13, ...

dapat juga dengan bentuk eksplisit:

a_n = 3n − 2, n ≥ 1

dapat juga dengan bentuk rekursif:

a₁ = 1, a_n = a_n-1 + 3, n ≥ 2

1. Konvergensi

Definisi: Suatu barisan {a_n} dikatakan konvergen ke L, kita tulis

jika (∀ε > 0)(∃N > 0) ∋ n ≥ N → |a_n − L| < ε

Sedangkan barisan yang tidak konvergen ke bilangan berhingga L apapun dikatakan divergen.

Lebih mudahnya begini, suatu barisan {a_n} dikatakan konvergen jika a_∞ ≠ ±∞, sedangkan barisan {a_n} dikatakan divergen jika a_∞ = ±∞.

Berikut ilustrasi untuk barisan a_n = 1 − 1/n

nilai barisan ini konvergen ke 1.

2. Aturan-Aturan Barisan Tak Hingga

Misal {a_n} dan {b_n} keduanya barisan konvergen dan k konstanta, berlaku:

a. Barisan Konstan

b. Perkalian Skalar

c. Jumlah dan Selisih

d. Perkalian Barisan

e. Pembagian Barisan

3. Teorema Apit Barisan

A. Teorema Apit

Misal {a_n} dan {c_n} keduanya konvergen ke L dan a_n ≤ b_n ≤ c_n untuk n ≥ K (K bilangan bulat tertentu), {b_n} juga konvergen ke L.

B. Diapit oleh Nol

Kita tahu bahwa −|a_n| ≤ a_n ≤ |a_n|, sehingga berlaku:

4. Barisan Monotonik

Misalkan suatu barisan tak mengecil sembarang {a_n}, yang artinya a_n ≤ a_n+1, untuk n ≥ 1. Jika anda fikirkan sedikit, anda mungkin dapat meyakinkan diri sendiri bahwa barisan seperti itu hanya dapat melakukan salah satu dari dua hal. Entah ia menuju tak hingga atau, jika ia tidak dapat melakukannya karena dibatasi di atas, maka ia harus mendekati suatu batas atas. Berikut adalah pernyataan formal dari hasil yang sangat penting ini:

Jika U adalah batas atas untuk suatu barisan tak mengecil {a_n}, maka barisan tersebut konvergen ke suatu limit A yang lebih kecil dari atau sama dengan U. Demikian pula, jika L adalah batas bawah untuk suatu barisan tak naik {b_n}, maka barisan tersebut konvergen ke suatu limit B yang lebih besar dari atau sama dengan L.

Istilah 'barisan monoton' digunakan untuk menggambarkan baik barisan tak turun maupun barisan tak naik. Ini setara dengan sifat kelengkapan bilangan real, yang dalam bahasa sederhana menyatakan bahwa garis bilangan real tidak memiliki 'lubang'. Sifat inilah yang membedakan garis bilangan real dari garis bilangan rasional (yang penuh dengan lubang). Masih banyak lagi yang bisa dikatakan tentang topik ini.

Catatan: Tidak perlu bagi barisan {a_n} dan {b_n} bersifat monoton sejak awal, cukup jika mereka bersifat monoton mulai dari suatu titik tertentu, yaitu untuk n ≥ K. Bahkan, konvergen atau divergennya suatu barisan tidak bergantung pada sifat suku-suku awalnya, melainkan pada apa yang terjadi untuk nilai n yang besar.