Integral dengan Fungsi Integran Tak Hingga

Perhatikan gambar berikut:

Mengingat banyaknya integral rumit yang telah kita kerjakan, berikut adalah salah satu yang terlihat cukup sederhana namun salah:

Secara visual, sebagaimana gambar di atas, seluruh grafik pada interval [−2, 1] terletak diatas sumbu-x, hal ini mengharuskan integralnya positif, tetapi ketika dihitung secara langsung hasilnya negatif.
Ingatlah bahwa agar suatu fungsi dapat diintegralkan dalam arti standar (atau proper), fungsi tersebut haruslah terbatas. Fungsi integran diatas, f(x) = 1/x², tidak terbatas, sehingga tidak dapat diintegralkan dalam arti proper. Kita katakan bahwa integral diatas adalah integral tak wajar dengan integran tak hingga (integran tak terbatas adalah istilah yang lebih akurat tetapi kurang menarik).

Sampai sekarang, kita telah dengan hati-hati menghindari integran tak hingga dalam semua contoh dan soal kita. Kita dapat terus melakukan ini, tetapi ini berarti menghindari jenis integral yang memiliki aplikasi penting. Tugas kita untuk bagian ini adalah mendefinisikan dan menganalisis jenis integral baru ini.

Perhitungan integral secara langsung menghasilkan nilai negatif, padahal berdasarkan gambar, nilai integral seharusnya positif. Masalahnya terletak pada fungsi 1/x² itu sendiri. Fungsi ini tidak terbatas (nilai fungsi mendekati tak hingga saat x mendekati 0), sehingga tidak memenuhi syarat untuk diintegralkan secara langsung (atau dalam arti proper). Karena fungsi tersebut tidak terbatas, maka integral yang kita hitung disebut integral tak wajar. Integral tak wajar membutuhkan perlakuan khusus dalam perhitungannya, biasanya melibatkan konsep limit. Meskipun lebih rumit, integral tak wajar memiliki banyak aplikasi penting dalam berbagai bidang, seperti fisika, teknik, dan ekonomi.

1. Integran yang Tak Hingga di Titik Ujung

Kami memberikan definisi untuk kasus di mana fungsi f mendekati tak hingga pada titik ujung kanan interval integrasi. Ada definisi yang sepenuhnya analog untuk kasus di mana f mendekati tak hingga pada titik ujung kiri.

Misal 𝑓 kontinu pada interval [a, b) dan misal

Nilai integral pada interval [a, b) adalah:

dengan syarat limit ini ada dan bernilai hingga. Dalam kasus ini, kita katakan bahwa integral konvergen. Selainnya, kita katakan bahwa integral divergen.
Definisi ini memberikan cara untuk menghitung integral dari fungsi yang tidak terbatas pada salah satu ujung interval integrasinya. Dengan menggunakan konsep limit, kita dapat menentukan apakah integral tersebut memiliki nilai yang pasti atau tidak.

contoh:

Semakin x mendekati 2, fungsi integrannya semakin mendekati tak hingga. Sebelum melanjutkan, selesaikan terlebih dahulu integral tak tentunya.

Masukkan ke integral tentu

2. Integran yang Tak Hingga di Dalam Interval

Misalkan f adalah fungsi kontinu pada interval [a, b] kecuali pada titik c, di mana a < c < b, dan misalkan limit dari |f(x)| ketika x mendekati c sama dengan tak hingga. Kita definisikan:

dengan syarat kedua partisi integral konvergen. Selainnya, kita katakan bahwa integral ini divergen.
Definisi ini menjelaskan bagaimana kita harus menafsirkan dan menghitung integral ketika fungsi di dalam integral menuju tak hingga pada suatu titik di dalam interval integrasi (bukan hanya pada titik ujung).

Titik c disebut titik dalam karena terletak di antara a dan b. Fungsi f(x) menjadi sangat besar (atau sangat kecil) ketika x mendekati c. Untuk menghitung integral keseluruhan, kita bagi integral menjadi dua bagian: dari a sampai c dan dari c sampai b.

Ketika kita menghadapi integral dengan fungsi yang menuju tak hingga di titik dalam interval, kita perlu membagi integral menjadi dua bagian di sekitar titik tersebut dan memeriksa apakah kedua bagian tersebut konvergen. Jika kedua bagian konvergen, maka integral keseluruhan juga konvergen dan kita dapat menghitung nilainya. Jika salah satu atau keduanya divergen, maka integral keseluruhan juga divergen.

contoh:

Diberikan suatu integral

yang mana fungsi integrannya bernilai mendekati tak hingga ketika x mendekati 1. Sehingga perlu dilakukan partisioning sebagai berikut:

3. Hubungan Partisioning dengan Uji Perbandingan

Misal 0 ≤ f(x) ≤ g(x) untuk setiap x pada interval [a, ∞) dan misalkan

Kekonvergenan I(g) mengharuskan kekonvergenan I(f); begitu juga kedivergenan I(f) mengharuskan kedivergenan I(g). Ingat kembali definisi kekonvergenan dan kedivergenan integral untuk memahami perbandingan ini.
Bayangkan Anda memiliki dua ember yang bocor. Ember A bocor lebih cepat daripada ember B. Jika Anda mengisi kedua ember tanpa henti, dan ember B akhirnya penuh (konvergen), maka ember A yang bocor lebih lambat pasti juga akan penuh (konvergen). Sebaliknya, jika ember A tidak pernah penuh (divergen), maka ember B yang bocor lebih cepat juga tidak akan pernah penuh (divergen).

Perbandingan ini sangat berguna untuk menentukan apakah suatu integral konvergen atau divergen tanpa harus menghitung integral secara langsung. Dengan membandingkan fungsi yang kita ingin integralkan dengan fungsi lain yang sudah diketahui sifat konvergensinya, kita dapat menyimpulkan sifat konvergensi dari fungsi yang kita cari.

Perbandingan ini memberikan alat yang sangat berguna untuk menentukan konvergensi atau divergensi dari integral. Dengan memahami perbandingan ini, kita dapat menyelesaikan masalah integral yang lebih kompleks dengan lebih efisien.